Курс лекций по подземной гидромеханике: Учебное пособие по одноименному курсу, страница 26

                            .                   (10)

·  Скорость фильтрации  (подставляем (8) в (4) и (5)):

                              .                                  (11)

·  Расход жидкости  (дебит галереи) Q:

                         .                        (12)

·  Закон движения границы раздела х_В=х_В(t) – находим из соотношения скорости фильтрации и средней действительной скорости движения жидкости в пористой среде:

                            ,                                       (13)

откуда:            .                         (14)

Проинтегрируем (14) в пределах от  0  до  t   и от  х₀  до  х_В :

                .              (15)

Время полного вытеснения нефти  Т  :   (в (15) положим:    х_В=L):

                      .                          (16)

          Для определения зависимости   х_В(t)  решим квадратное уравнение (15) относительно  х_В :

             .               (17)

Подставив (16) в (12) получим выражение, определяющее изменение дебита во времени:

.     (18)         

          Из (9) и (10) следует, что давление в пласте зависит не только от координаты   х, но и от положения границы раздела   х_В(t):  среднее пластовое давление в водоносной области со временем падает, а в нефтеносной – растёт.

          Скорость фильтрации и расход жидкости Q изменяется во времени, т.е. несмотря на постоянство депрессии (Р_К – Р_Г) движение жидкости в пласте будет неустановившимся.

          При µ_Н > µ_В, как следует из формулы (17), дебит галереи Q (и, соответственно, скорость фильтрации) увеличивается с течением времени, т.е. по мере продвижения контура нефтеносности. Это объясняется тем, что с течением времени увеличивается область водоносности, гидравлическое сопротивление которой меньше, чем области нефтеносности (µ_Н > µ_В).

          Допустим первоначальное положение водонефтяного контакта АВ в пласте не параллельно галерее (т.е. не перпендикулярно 0Х).

          Из (17) следует, что чем больше х₀, тем больше скорость фильтрации υ_Ф . Отсюда можно сделать вывод, что граница раздела в точке В будет двигаться быстрее, чем в точке А, и обводнение галереи начнётся по линии      В…В₁…В₄…, в то время как контур нефтеносности по другим линиям будет ещё значительно удалён от галереи.

          Из этого примера следует важное заключение о характере продвижения контура нефтеносности. Если на границе раздела вода – нефть при разработке нефтяной залежи образовался “нефтяной язык”, то он в дальнейшем не только не исчезнет, а быстро вытягивается, продвигаясь с большей скоростью, чем остальная часть водонефтяного контакта.

         

         2.  Плоскорадиальное вытеснение нефти водой.

               

     Р_к=const;     

     Р_с=const;       µ_н > µ_в

     R₀ – начальное положение контура нефтеносности (t=0);

     r_н – текущее положение контура нефтеносности (t);

            Р_В(r);   Р_Н(r).

    Р_Г – давление на границе раздела жидкостей

                                                                                                                                                 Для установившегося плоскорадиального движения жидкости:

-------распределение давления:

                     ;                            (19)

-------скорость фильтрации:          .                                  (20)             

В рассматриваемом случае:

-------- распределение давления и скорость фильтрации в водоносной области:

                                                                                 (21)

                                                                                         (22)

--------- в нефтеносной области:

                                                                                   (23)

                                                .                                      (24)

Давление на границе раздела жидкостей Р определим из условия равенства скоростей фильтрации нефти и воды на этой границе:

;       ;                         (25)