Курс лекций по подземной гидромеханике: Учебное пособие по одноименному курсу, страница 23

из (10) получим:                      .                           (11)

(11) дифференцируем по t:

                                                          .                                  (12)

          Функция Лейбензона для упругой жидкости (при умеренных давлениях)

                        .           (13)

Дифференцируя (13) дважды по координатам и складывая, получим:

                                                  .                                                   (14)

Подставляя (12) и (14) в (7), получим:

                                                        .                                      (15)

          Обозначим:                               χ.                                            (16)

          Тогда  (15) записывается в виде:

                                              = χ                                (17)

                              или                     χ  .                                          (18)

Уравнение (17) является основным дифференциальным уравнением упругого режима фильтрации. По предложению В.Н.Щелкачева оно названо уравнением пьезопроводности и относится к уравнениям Фурье (уравнениям теплопроводности).

          Коэффициент χ, характеризующий скорость перераспределения пластового давления при неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде, называется коэффициентом пьезопроводности пласта (по аналогии с коэффициентом температуропроводности в уравнении теплопроводности).

                                                           χ = 0,1 5м/с.

      4.Плоскорадиальный фильтрационный поток упругой                          

                                             жидкости.

          Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h имеется добывающая скважина нулевого радиуса (точечный сток).

В момент времени   t  во всем пласте  давление  Р (r,0) = Р_к = const.

В момент t = 0 скважина пущена в эксплуатацию c постоянным дебитом Q₀.

В пласте возникает неустановившийся плоскорадиальный поток упругой жидкости.  Необходимо определить распределение давления в пласте в любой момент времени:         Р (r, t).

Запишем основное уравнение упругого режима фильтрации

                                                           χ                                          (19)  

в цилиндрической системе координат:

                                                   χ                                   (20)

          или:                                 = χ.                                  (21)

          Начальные и граничные условия:

                              ;                   

                              υ                  (22)

                                                                                                                                                    t>0

Последнее условие запишем в виде:

                                                     .                                  (23)

Для того чтобы проинтегрировать уравнение (3) необходимо перейти к безразмерным переменным:

          безразмерное давление:          ;                                      (24)

          размерные аргументы  r  и  t  можно

объединить в один безразмерный комплекс:         .                   (25)

Тогда

Очевидно:                       

                ;             .                 (26)

Подставляя (26) в (21) получим обыкновенное дифференциальное уравнение:

                                                .                             (27)

Граничные условия:      при             П = 1.

Кроме того (23) запишем в виде:

                                                          .                               (28)

(Действительно:    ).

 Заменим:        (27) запишем в виде:      .      (29)

                 или:                     .                                         (30)

Интегрируем (30):

                                                     .                        (31)