Курс лекций по подземной гидромеханике: Учебное пособие по одноименному курсу, страница 15

                                                 .                                     (6)

                                                 .                                       (7)

  Подставив в (7) Q  из  (5) получим:

                                                 .                                     (8)

Таким образом распределение давления при нелинейном законе фильтрации линейно и в точности совпадает с распределением давления в аналогичном потоке при фильтрации по линейному закону Дарси.

             2.  Плоскорадиальный фильтрационный поток.

           Рассмотрим плоскорадиальный фильтрационный поток несжимаемой жидкости, фильтрация которого подчиняется квадратичному закону Краснопольского:

                                             .                                        (9)

Обозначим       и запишем  (9)  в дифференциальной форме:

                                    .                                  (10)

Из (10)  имеем:                        .                                       (11)

Интегрируем (11):                ;                                    (12)

                                      ,                              (13)

Откуда:                 

                                             .                             (14)

 Так как   <<,  то (14) можно записать в виде:

                                           .                                     (15)

 Проинтегрируем (11) следующим образом:

                                            ,                                      (16)

и используя (14),  получим  распределение  давления  в  пласте:

                                     .                                   (17)

Таким образом,  в данном случае распределение давления имеет тот же вид, что и для   линейного закона Дарси, но для радиально-сферического фильтрационного потока.

VI.   Установившаяся плоская фильтрация

    жидкости. Интерференция скважин 

          При пуске, остановке или изменении режима работы одной скважины (или группы скважин) изменяются дебиты и забойные давления других скважин, эксплуатирующих тот же пласт. Суммарная  добыча нефти из месторождения  по мере ввода в эксплуатацию новых скважин растет медленнее, чем число скважин.

                        1. Точечные стоки и источники.

          Точечным стоком называется точка, поглощающая жидкость. На плоскости  точечный сток можно рассматривать как модель гидродинамически совершенной скважины бесконечно-малого диаметра в пласте единичной толщины.

                                 Точечный источник --- это точка, выделяющая жидкость

                                 (модель нагнетательной скважины).

              .

                                 Определим потенциал точечного стока (источника).

                                       На плоскости точечный  сток является  моделью
                                  добывающей скважины и течение вокруг него
                                  плоскорадиальное.

                                  ----- обобщенный закон фильтрации Дарси;   (1)

                                                     ,                                                      (2)

 где    --- дебит скважины- стока, приходящийся на единицу толщины пласта.

    Из (1) и (2) получим:                    .                                         (3)

Интегрируем (3):

                                                ,                                                 (4)

где     С –  постоянная интегрирования.

            Для точечного источника:
                                              .                                               (5)

 
          Понятия  источников и стоков широко используются для решения многих важных задач подземной гидромеханики.

2. Метод суперпозиции.

           Метод суперпозиции (метод наложения) основан на свойствах уравнения Лапласа, которое описывает распределение потенциала (т.е. давления) в фильтрующихся потоках флюида в пласте.