Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин

ЛЕКЦИЯ №1.

Тема: 1. Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин

ПЛАН

1.1  Динамические и кинематические модели. Дифференциальные уравнения – предмет и метод исследования

1.2  Основные понятия дифференциальных уравнений

1.3  О решении прикладных задач на составление дифференциальных уравнений

1.3.1  Уравнения в дифференциалах

1.3.2  Уравнения в производных

1.3.3  Простейшие интегральные уравнения

1.4  Образование дифференциальных уравнений путём исключения произвольных постоянных из семейств кривых

1.5  Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения . Метод изоклин приближенного построения решений

1.1 Динамические и кинематические модели. Дифференциальные уравнения – предмет и метод исследования

Различные задачи теоретического и прикладного характера, содержащие элементы “движения”, приводят к построению математических моделей в виде уравнений, в которые, кроме независимых переменных и искомых функций, входят ещё производные (или дифференциалы) от искомых функций. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями (термин “дифференциальные уравнения” был введён Лейбницем в 1679г.).

Модели в виде дифференциальных уравнений называют динамическими математическими моделями описываемых ими реальных объектов. В таких моделях, кроме искомых функций, содержатся и их производные (скорости, ускорения и т. д.). Математические зависимости между независимыми переменными и некоторыми функциями называют кинематическими моделями.

Эффективность динамического моделирования реальных процессов состоит в его относительной простоте (по сравнению с кинематическим моделированием). Но конечной целью исследования реальных объектов всё же являются кинематические модели, т. к. только такие модели дают возможность изучать объекты достаточно полно. Таким образом, составление динамической модели (дифференциального уравнения) является не самоцелью, а промежуточным звеном между объектом исследования и его кинематической моделью. Расшифровка динамической модели, т. е. превращение её в кинематическую, называется интегрированием динамической модели или, соответственно, интегрированием дифференциального уравнения. Существует много эффективных методов как точного, так и приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Поэтому эффективность динамического моделирования состоит ещё и в том, что оно, в конечном итоге, дает возможность алгоритмизировать процесс построения кинематической модели объекта исследования, т. е. разработать систему однозначных правил (алгоритм) построения кинематической модели исследования. Отсюда понятна важность задачи о методах решения дифференциальных уравнений. Поскольку кинематическая модель задачи служит для изучения свойств объекта её исследования, то вместо задачи интегрирования дифференциальных уравнений возникает также задача нахождения по свойствам уравнений тех или других свойств их решений.

Эти две задачи – разработка методов интегрирования дифференциальных уравнений и исследование различных свойств их решений – и составляют предмет теории дифференциальных уравнений как самостоятельной ветви математики. Метод же теории дифференциальных уравнений в целом составляет аппарат математического анализа. Интегральное исчисление функции одной переменной, например, по сути является теорией интегрирования дифференциальных уравнений вида . В самом деле   - однопараметрическое семейство кривых (где ).

Теория дифференциальных уравнений настолько всеобъемлющая, что в её рамках выделились отдельные, самостоятельные научные ветви, каждая из которых имеет свой предмет и метод. Основные из них: теория интегрирования дифференциальных уравнений, аналитическая, качественная,  геометрическая теории дифференциальных уравнений.

Теория интегрирования дифференциальных уравнений своим предметом имеет классификацию дифференциальных уравнений и разработку методов построения их точного решения (в явной, неявной или параметрической формах) хотя бы в виде квадратур от заданных функций, а поэтому эту теорию часто называют методами интегрирования дифференциальных уравнений. Метод этой теории как науки состоит в приведении дифференциальных уравнений (при помощи разных замен и преобразований) к легко интегрируемым уравнениям. Эта часть теории дифференциальных уравнений является классической и очень важной частью. Ее разработка завершена в основном к началу XX века.

Аналитическая теория дифференциальных уравнений занимается исследованием свойств аналитических решений дифференциальных уравнений в комплексной плоскости и нахождением классов уравнений с аналитическими решениями, которые имеют наперёд заданные свойства.

Качественная теория дифференциальных уравнений изучает свойства графиков решений дифференциальных уравнений (интегральных кривых). Её предмет – разработка методов исследования поведения решений дифференциальных уравнений на основании свойств самих уравнений. На основании методов А.М. Ляпунова качественной теории дифференциальных уравнений создана теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, которая существенно повлияла на дальнейшее развитие теории дифференциальных уравнений.