Математика \ Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 6

Геометрически поле направлений можно изобразить, проводя в каждой точке области Д отрезок единичной длины с центром в этой точке, образующий с положительным направлением оси угол (где ). Если в точке правая часть уравнения (1.31) обращается в бесконечность, то направление поля параллельно оси ординат (так как при ). Если в точке обращается в неопределённость , то поле направлений в этой точке не определено, а сама точка называется особой точкой дифференциального уравнения.

Теперь в геометрической интерпретации задачу интегрирования дифференциального уравнения (1.31) можно сформулировать так: найти такие кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением поля в этой точке.

Геометрическое истолкование уравнения (1.31) служит основой для построения приближенных методов решения уравнения (1.31). Один из таких методов называется методом изоклин. Изоклиной поля направлений называется геометрическое место точек, в которых направление поля одинаково. Уравнением изоклины будет линия

, (1.32)

или . Метод изоклин приближенного решения дифференциального уравнения 1-го порядка можно представить так.

Пусть дано дифференциальное уравнение (1.31) с начальным условием . Допустим, уравнение имеет единственное решение . Разобьем кривую на частей и каждую часть кривой заменим отрезком касательной в определённых точках кривой. Интегральную кривую теперь можно заменить ломаной, состоящей из отрезков касательных. Отрезки касательных получают в методе изоклин из уравнения (1.32).

П р и м е р 1. Дано уравнение и начальное условие . Построить изоклины и приближенное частное решение.

Р е ш е н и е. Построим изоклины, полагая равной ; ; ; ; . Получим уравнение изоклин – линий с одинаковым наклоном касательных:

; ; ; ;

; ; ; .

Нам известна одна точка интегральной кривой . В этой точке угол, составленный касательной с осью , . Проведём из точки отрезок касательной (до пересечения с ближайшей изоклиной). Из полученной точки пересечения построим отрезок касательной под углом до пересечения со следующей изоклиной в точке . Из точки строим отрезок касательной под углом до пересечения со следующей изоклиной в точке и так далее. В результате получаем ломаную , которая приближённо представляет решение данного уравнения. Эта ломаная тем точнее будет представлять решение уравнения, чем гуще будут изоклины.

З а м е ч а н и е 1. Используя метод изоклин, можно строить приближенно и общие решения уравнения (1.31). Этот метод позволяет определить характерные линии и области поля интегральных кривых, такие, например, как область возрастания (при ), убывания (при ) интегральных кривых, линии экстремумов (). Если к тому же функция в уравнении (1.31) дифференцируема, то при помощи неявного задания второй производной

(1.33)

можно, положив, определить область выпуклости – вогнутости (, ) и точки перегиба интегральных кривых ().

П р и м е р 2. Построить приближённо интегральные кривые уравнения , используя метод изоклин.

Р е ш е н и е. Записываем уравнение изоклин (): , откуда - семейство гипербол.

1) При имеем или .

Таким образом, прямая - линия экстремумов (линия не линия экстремумов, так как является частным решением уравнения, и на основании теоремы существования и единственности решения через её точки не могут проходить другие интегральные кривые).

2) Интервалы возрастания – убывания:

Возрастания: или .