Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 5

Вообще говоря, каждой кривой семейства (1.17) соответствует определённое значение параметра . Именно этим отличаются кривые семейства одна от другой. Поставим задачу: составить дифференциальное уравнение этого семейства кривых, которое описывало бы свойства, присущие всем кривым данного семейства.

Предположим, что функция  - дифференцируема. Пусть соотношение (1.17) задаёт нашу дифференцируемую функцию от : , т. е. для функции  из (1.17) выполнены условия теоремы существования неявной функции. Тогда дифференцируя (1.17), получаем

.                                        (1.18)

Если (1.18) не содержит , то оно и будет искомым дифференциальным уравнением семейства кривых.

Но исключение  из (1.17) путём дифференцирования возможно только в частных случаях. А в общем случае соотношение (1.18) содержит . Тогда исключить параметр  можно, составив систему из соотношений (1.17) и (1.18):

.

В результате получим дифференциальное уравнение

,                                       (1.19)

которое описывает свойства, присущие всем кривым семейства (1.17).

Т. о., дифференциальное уравнение можно получить формальным исключением параметра из уравнения однопараметрического семейства кривых.

Напоминаем теорему существования неявной функции: если функция  непрерывна вместе с частными производными первого порядка в некоторой окрестности точки  и , , то существует такая окрестность точки , в которой уравнение  определяет  как однозначную функцию от : , обладающую следующими свойствами:

1)  непрерывна вместе с ;

2) .

П р и м е р 1. Составить дифференциальное уравнение семейства парабол

.                                                 (1.20)

Р е ш е н и е. Дифференцируем (1.20): , . Из системы  исключаем :

 или .                                      (1.21)

Это и есть искомое дифференциальное уравнение. Заметим, что полученному уравнению (1.21) удовлетворяют и полупрямые  (), не входящие в данное семейство парабол.

Аналогично дифференциальное уравнение 2-го порядка можно получить, исключая параметры ,  из двухпараметрической семьи плоских кривых:

.                                     (1.22)

Дифференцируя по , получаем:

.                                   (1.23)

В общем случае из (1.22), (1.23) нельзя исключить обе постоянные, поэтому продифференцировав по  ещё раз, получим:

.                    (1.24)

Исключая из равенств (1.22)-(1.24)  и

,                  (1.25)

и подставляя (1.25) в (1.22), получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка:

.                                      (1.26)

П р и м е р 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых:

.                                      (1.27)

Р е ш е н и е. Так как уравнение семейства содержит 2 параметра, то дифференцируем его 2 раза, считая что :

,                                    (1.28)

.                                  (1.29)

Исключаем  и  из системы (1.27)-(1.29). Из уравнения (1.28) находим  и подставляем его в (1.27). Получаем

.                                           (1.30)

Исключаем . Из уравнения (1.29) имеем . Подставляя это в (1.30), получаем искомое дифференциальное уравнение . Преобразуем последнее уравнение:  или  или .

О т в е т. Искомое уравнение .

Аналогично дифференциальное уравнение n-го порядка можно получить, исключая параметры  из n-параметрической семьи плоских кривых .

1.5 Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения . Метод изоклин приближенного построения решений

Выясним геометрический смысл дифференциального уравнения:

,                                  (1.31)

рассматривая переменные  и  как координаты  и  двумерной области Д – области определения функции .

Пусть  является решением уравнения (1.31). Тогда из геометрического смысла производной, вычисленной в точке  (), следует, что уравнение (1.31) определяет в каждой точке  области Д значение углового коэффициента касательной, проведённой к интегральной кривой , причём, . Но если в каждой точке области Д задано значение некоторой величины, то говорят, что в области Д задано скалярное поле этой величины. Таким образом, дифференциальное уравнение (1.31) определяет поле направлений касательной (или просто поле направлений).