2.3 Однородные дифференциальные уравнения
2.4 Уравнения, сводящиеся к однородным
В общем случае дифференциальное уравнение I-го порядка можно записать в виде
, (2.1)
или в виде разрешенном относительно производной
,
(2.2)
или в симметричной форме:
,
(2.3)
где ,
,
,
- заданные функции своих аргументов.
Для дифференциального уравнения I-го порядка имеют место введённые ранее понятия решения, общего и частного решения, общего и частного интегралов.
С геометрической точки зрения общее решение
дифференциального уравнения I-го порядка представляет собой
однопараметрическое семейство интегральных кривых. Частное решение –
единственная кривая из однопараметрического семейства
,
соответствующая конкретному значению параметра
.
Например, общим решением дифференциального уравнения
является
однопараметрическое семейство парабол
.
Положив в общем решении, например,
, получим частное
решение – единственную интегральную кривую
.
Задачей Коши для дифференциального уравнения I-го порядка называют задачу нахождения частного решения, удовлетворяющего заданному начальному условию:
,
(2.4)
где ,
-
заданные числа. С геометрической точки зрения решить задачу Коши для
дифференциального уравнения I-го порядка значит из однопараметрического семейства
интегральных кривых (общего решения) выбрать единственную интегральную кривую,
проходящую через заданную точку
.
П р и м е р 1. Проверить, что функция является общим решением уравнения
, и найти частное решение, удовлетворяющее
начальному условию
.
Р е ш е н и е. Из вычисляем
и, подставляя в уравнение, получаем
. Таким образом,
общее
решение уравнения, геометрический смысл – однопараметрическое семейство
интегральных кривых. Из начальных условий получаем
.
Подставив в общее решение значение
получим,
.
О т в е т: .
а) Неполные уравнения первого порядка.
I.
. (2.7)
непосредственным интегрированием
находим ,
,
.
II.
(2.8)
.
Считая
функцией, а
аргументом
и полагая
, получаем
;
;
-
общее решение.
П р и м е р 1. ,
.
П р и м е р 2. ;
;
- общее решение.
б) Уравнением с разделёнными переменными называют уравнение вида
, (2.9)
в котором и
- заданные функции. Общий интеграл
находим, интегрируя уравнение
, где
- произвольная постоянная.
П р и м е р 3. Найти частное решение дифференциального
уравнения , удовлетворяющее условию
.
Р е ш е н и е. или
- общий интеграл. Используя начальные
условия, получаем
, откуда
.
Частное решение -
.
в) Дифференциальное уравнение вида:
, (2.10)
в котором
коэффициенты при и
представляют
произведение двух функций из которых одна зависит только от
, а другая только от
, называют уравнением с разделяющимися
переменными.
Полагая, что
(2.11)
и разделив уравнение (2.10) на
произведение (2.11), получим уравнение с разделёнными переменными . Проинтегрировав его, получим
- общий интеграл уравнения.
З а м е ч а н и е 1. Иногда для разделения переменных
вводят разделяющий множитель . Умножив уравнение
(2.10) на
, получим уравнение с разделёнными
переменными.
З а м е ч а н и е 2. Деление на может привести к потере частных решений,
обращающих в ноль это произведение (эти решения могут быть и особыми).
З а м е ч а н и е 3. Уравнение вида
(2.12)
тоже является уравнением с разделяющимися переменными и легко приводится к уравнению (2.10):
;
- вид (2.10).
Полагая , получим
и
-
общий интеграл.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.