Математика \ Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 7

2.3 Однородные дифференциальные уравнения

2.4 Уравнения, сводящиеся к однородным

2.1 Основные понятия. Задача Коши

В общем случае дифференциальное уравнение I-го порядка можно записать в виде

, (2.1)

или в виде разрешенном относительно производной

, (2.2)

или в симметричной форме:

, (2.3)

где , , , - заданные функции своих аргументов.

Для дифференциального уравнения I-го порядка имеют место введённые ранее понятия решения, общего и частного решения, общего и частного интегралов.

С геометрической точки зрения общее решение дифференциального уравнения I-го порядка представляет собой однопараметрическое семейство интегральных кривых. Частное решение – единственная кривая из однопараметрического семейства , соответствующая конкретному значению параметра . Например, общим решением дифференциального уравнения является однопараметрическое семейство парабол . Положив в общем решении, например, , получим частное решение – единственную интегральную кривую .

Задачей Коши для дифференциального уравнения I-го порядка называют задачу нахождения частного решения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

, (2.4)

где , - заданные числа. С геометрической точки зрения решить задачу Коши для дифференциального уравнения I-го порядка значит из однопараметрического семейства интегральных кривых (общего решения) выбрать единственную интегральную кривую, проходящую через заданную точку .

П р и м е р 1. Проверить, что функция является общим решением уравнения , и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Р е ш е н и е. Из вычисляем и, подставляя в уравнение, получаем . Таким образом, общее решение уравнения, геометрический смысл – однопараметрическое семейство интегральных кривых. Из начальных условий получаем . Подставив в общее решение значение получим, .

О т в е т: .

2.2 Интегрирование дифференциальных уравнений с разделёнными и разделяющимися переменными

а) Неполные уравнения первого порядка.

. (2.7)

непосредственным интегрированием находим , , .

II.

(2.8)

. Считая функцией, а аргументом и полагая , получаем ; ; - общее решение.

П р и м е р 1. , .

П р и м е р 2. ; ;

- общее решение.

б) Уравнением с разделёнными переменными называют уравнение вида

, (2.9)

в котором и - заданные функции. Общий интеграл находим, интегрируя уравнение , где - произвольная постоянная.

П р и м е р 3. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию .

Р е ш е н и е. или - общий интеграл. Используя начальные условия, получаем , откуда . Частное решение - .

в) Дифференциальное уравнение вида:

, (2.10)

в котором коэффициенты при и представляют произведение двух функций из которых одна зависит только от , а другая только от , называют уравнением с разделяющимися переменными.

Полагая, что

(2.11)

и разделив уравнение (2.10) на произведение (2.11), получим уравнение с разделёнными переменными . Проинтегрировав его, получим - общий интеграл уравнения.

З а м е ч а н и е 1. Иногда для разделения переменных вводят разделяющий множитель . Умножив уравнение (2.10) на , получим уравнение с разделёнными переменными.