Математика \ Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 33

. (7.43)

Если бы мы сумели проинтегрировать его, то имели бы:

(7.44)

или:

. (7.45)

Если уравнение (7.45) интегрируется в квадратурах, то задача была бы решена до конца.

П р и м е р 5. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Это уравнение вида (7.42). Замена

или

, т.е. . Тогда .

Используя начальные условия, находим : . Тогда . Это уравнение с разделяющимися переменными:

Находим из начальных условий: . Тогда частное решение запишется .

3) Уравнение (7.37) однородное относительно искомой функции и ее производных. По условию левая часть уравнения (7.37) удовлетворяет тождеству:

где m – показатель однородности. Тогда уравнение (7.37) можно записать в виде:

. (7.46)

Замена

и т.д.

Подставляя в (7.46), получаем уравнение (n-1)-го порядка:

. (7.47)

Если в (7.47) не входит явно x, то его порядок можно понизить еще на единицу.

П р и м е р 6. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Это однородная функция относительно y,y' и y". Замена: и . Подставляем в уравнение (т.к. ), или - это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его общее решение имеет вид: . Учитывая, что , получаем , - общее решение.

4) Порядок уравнения понижается, если оно является однородным относительно x и y в обобщенном смысле, т.е. не меняется от замены на , на (при этом заменяется на , и т.д., ). Чтобы узнать, будет ли уравнение однородным и найти число m, надо приравнять друг к другу показатели степеней, в которых число k будет входить в каждый член уравнения после указанной выше замены в одинаковых степенях. Например, . Замена: . Получаем . Чтобы уравнение было однородным, необходимо выполнение равенств (Если же полученные уравнения будут несовместными, то рассматриваемое дифференциальное уравнение не является однородным в указанном смысле).

Для интегрирования уравнения проводим замену:

, где . (7.48)

Тогда:

Аналогично:

и т.д. .

После проведения замены исходное уравнение не содержит независимой переменной t и поэтому допускает понижение порядка на единицу.

П р и м е р . Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Установим, является ли это уравнение обобщенным однородным уравнением, заменяя , получим: , отсюда: . Замена: . Отсюда: . Тогда . Сократив на , получаем . Отсюда: . Это уравнение явным образом не содержит независимую переменную, поэтому замена: . Тогда: . Замена: ,. Вычислив интеграл, получим . Учитывая, что , получаем:

Исключив параметр t, получаем общее решение:

5) Уравнения в точных производных. Левая часть уравнения:

(7.49)

является производной некоторого дифференциального выражения (n-1)-го порядка . Тогда заданное уравнение можно переписать в виде , тогда: . Таким образом, порядок уравнения понизился на единицу.

П р и м е р 7. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Это уравнение вида 5), т.к. его можно записать в виде или . После интегрирования получаем - общий интеграл.

Если исходное уравнение (7.49) не является уравнением в точных производных, то иногда удается подобрать такую функцию (интегрирующий множитель), что после умножения на нее уравнение (7.49) становится уравнением в точных производных. При умножении на могут быть введены лишние решения (решения уравнения ), а также возможна потеря решений (в случае разрывности множителя ).