Математика \ Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 17

Под знаком интеграла стоит непрерывная функция по , так как - дифференцируемая а, значит, непрерывная. Соотношения вида (5.3), в которых неизвестная функция входит под знак интеграла, называют интегральными уравнениями. Из равенства (5.3) следует, что любое решение уравнения (5.1), удовлетворяющее условию (5.2), удовлетворяет условию (5.3). Справедливо и обратное утверждение, т. е. если некоторая функция при подстановке в (5.3) обращает его в тождество, то она, очевидно, удовлетворяет условию (5.2), а дифференцируя тождество (5.3), получим, что обращает в тождество и уравнение (5.1).

Таким образом, эквивалентность уравнения (5.1) при начальных условиях (5.2) интегральному уравнению (5.3) установлена. Докажем существование решения уравнения (5.3). С этой целью применим метод последовательных приближений Пикара.

За исходное (нулевое) приближение принимаем функцию, равную тождественно начальному значению исходной функции .

I. Построим последовательность функций, называемых приближенными решениями, по правилу:

(5.4)

Будем рассматривать функцию (5.4) для , находящихся в интервале . Тогда относительно функций (5.4) можно утверждать:

1) Каждая из функций () непрерывна, так как по условию теоремы - непрерывная функция и тогда интеграл есть непрерывная функция верхнего предела.

2) Каждая из функций () определена при и не выходит из области . Докажем это. Из соотношений (5.4) имеем:

так как - меньшее из чисел и . Таким образом, функция не выходит за пределы области . Аналогично:

…………………………………………………………………………………

Применяя метод индукции, получаем что функции () не выходят из области .

II. Покажем, что последовательность приближений (5.4) сходится равномерно при . Для этого рассмотрим функциональный ряд, k-я частная сумма которого равна :

. (5.5)

Из равномерной сходимости этого ряда будет следовать равномерная сходимость последовательности приближений (5.4). Оценим каждый член ряда (5.5):

Применяя к условие Липшица и учитывая оценку предыдущего члена ряда, получим:

Аналогично:

Пользуясь методом математической индукции, нетрудно показать, что:

. (5.6)

Если рассматривать из интервала , то:

……………………………….

Таким образом, члены функционального ряда (5.5) меньше соответствующих членов числового ряда с положительными членами:

Последний ряд, согласно признаку Даламбера, сходится, так как:

Тогда на основании признака Вейерштрасса функциональный ряд (5.5) равномерно сходится для всех из интервала .

Обозначим . Тогда - непрерывная на интервале функция.

Покажем, что удовлетворяет начальному условию и не выходит из области . В самом деле: . Далее, переходя к пределу в неравенстве , получаем , т.е. не выходит за пределы области .

III. Докажем, что есть решение уравнения (5.3).

Так как равномерно на , то для любого найдётся такой, что

, для .

Поэтому, используя условие Липшица, имеем

при , так что при для всех , .

Поэтому, переходя к пределу в соотношении (5.4), определяющим , будем иметь:

, ,

т.е. является решением интегрального уравнения (5.3), а, следовательно, и решением уравнения (5.1), определённым и непрерывно дифференцируемом при , и удовлетворяющим начальному условию .

IV. Докажем, что такое решение единственное. Пусть на отрезке кроме решения существует другое решение , такое, что . Рассмотрим любой малый интервал , , на котором . Так как функции и равны не во всех точках этого интервала, то в некоторой точке , лежащей в интервале , абсолютная величина разности этих функций достигает наибольшего значения :