Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 17

Под знаком интеграла стоит непрерывная функция по , так как  - дифференцируемая а, значит, непрерывная. Соотношения вида (5.3), в которых неизвестная функция входит под знак интеграла, называют интегральными уравнениями. Из равенства (5.3) следует, что любое решение уравнения (5.1), удовлетворяющее условию (5.2), удовлетворяет условию (5.3). Справедливо и обратное утверждение, т. е. если некоторая функция  при подстановке в (5.3) обращает его в тождество, то она, очевидно, удовлетворяет условию (5.2), а дифференцируя тождество (5.3), получим, что  обращает в тождество и уравнение (5.1).

Таким образом, эквивалентность уравнения (5.1) при начальных условиях (5.2) интегральному уравнению (5.3) установлена. Докажем существование решения уравнения (5.3). С этой целью применим метод последовательных приближений Пикара.

За исходное (нулевое) приближение  принимаем функцию, равную тождественно начальному значению исходной функции .

I. Построим последовательность функций, называемых приближенными решениями, по правилу:

                                            (5.4)

Будем рассматривать функцию (5.4) для , находящихся в интервале . Тогда относительно функций (5.4) можно утверждать:

1) Каждая из функций  () непрерывна, так как по условию теоремы  - непрерывная функция и тогда интеграл  есть непрерывная функция верхнего предела.

2) Каждая из функций  () определена при  и не выходит из области . Докажем это. Из соотношений (5.4) имеем:

,

так как  - меньшее из чисел  и . Таким образом, функция  не выходит за пределы области . Аналогично:

,

…………………………………………………………………………………

,

…………………………………………………………………………………

Применяя метод индукции, получаем что функции  () не выходят из области .

II. Покажем, что последовательность приближений (5.4) сходится равномерно при . Для этого рассмотрим функциональный ряд, k-я частная сумма которого равна :

.              (5.5)

Из равномерной сходимости этого ряда будет следовать равномерная сходимость последовательности приближений (5.4). Оценим каждый член ряда (5.5):

,

.

Применяя к  условие Липшица и учитывая оценку предыдущего члена ряда, получим:

.

Аналогично:

Пользуясь методом математической индукции, нетрудно показать, что:

.                           (5.6)

Если рассматривать  из интервала , то:

,

                                                              ,

                                                             ,

                                          ……………………………….

                                                         ,

                                          ……………………………….

Таким образом, члены функционального ряда (5.5) меньше соответствующих членов числового ряда с положительными членами:

Последний ряд, согласно признаку Даламбера, сходится, так как:

.

Тогда на основании признака Вейерштрасса функциональный ряд (5.5) равномерно сходится для всех  из интервала .

Обозначим . Тогда  - непрерывная на интервале  функция.

Покажем, что  удовлетворяет начальному условию  и не выходит из области . В самом деле: . Далее, переходя к пределу в неравенстве , получаем , т.е. не выходит за пределы области .

III. Докажем, что  есть решение уравнения (5.3).

Так как  равномерно на , то для любого  найдётся  такой, что

,  для .

Поэтому, используя условие Липшица, имеем

при , так что  при  для всех , .

Поэтому, переходя к пределу в соотношении (5.4), определяющим , будем иметь:

, ,

т.е.  является решением интегрального уравнения (5.3), а, следовательно, и решением уравнения (5.1), определённым и непрерывно дифференцируемом при , и удовлетворяющим начальному условию .

IV. Докажем, что такое решение  единственное. Пусть на отрезке  кроме решения  существует другое решение , такое, что . Рассмотрим любой малый интервал , , на котором . Так как функции  и  равны не во всех точках этого интервала, то в некоторой точке , лежащей в интервале , абсолютная величина разности этих функций  достигает наибольшего значения :

.

Рассмотрим:

Или, если распространить интегрирование на интервал ,

.

Тогда , что невозможно, так как  можно выбирать сколь угодно малым.