Математика \ Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 15

Таким образом, задача отыскания интегрирующего множителя свелась к решению дифференциального уравнения в частных производных (4.20), т. е. к задаче более сложной, чем решение уравнения (4.1). Поэтому уравнение (4.20) будем решать в предположении, что искомый интегрирующий множитель является сложной функцией вида

, (4.21)

где - наперёд заданная функция .

Подставляя (4.21) в (4.20), получим линейное однородное уравнение относительно . В самом деле ; , тогда:

;

. (4.22)

Из (4.22) делаем вывод, что предположение о существовании интегрирующего множителя в классе функций (4.21) справедливо лишь тогда, когда выполняется условие:

. (4.23)

Тогда из уравнения (4.22) получаем:

, (4.24)

решая которое, получаем:

;

. (4.25)

Отметим, что если функция неизвестная, то условие (4.20) фактически даёт относительно неё уравнение в частных производных:

т. е. уравнение вида (4.20), где - произвольная функция переменной . Методы решения таких уравнений будем рассматривать позже.

П р и м е р 2. Проинтегрировать уравнение

Р е ш е н и е. Здесь , ,

. Используем условие (4.23) и попробуем подобрать функцию , при которой (4.23) выполняется:

При условие (4.23) выполняется, причём . Тогда, согласно с (4.25), получаем:

Умножив уравнение на этот множитель, получим уравнение в полных дифференциалах:

Для интегрирования уравнение удобно переписать в виде:

Откуда

и таким образом общий интеграл уравнения запишется:

Задача нахождения значительно упрощается в предположении, что или .

1. Если , то (4.20) запишется:

;

Если:

, (4.26)

то:

;

. (4.27)

П р и м е р 3. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Здесь , , откуда , . Тогда (4.26) получаем:

Тогда из (4.27):

;

Умножая на интегрирующий множитель, получаем

- уравнение в полных дифференциалах.

Его левую часть можно представить в виде т. е. - общий интеграл.

2. Аналогично, если , то (4.20) запишется:

;

Если:

, (4.28)

то:

;

. (4.29)

П р и м е р 4. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Здесь ,

, .

Из (4.28) получаем:

Тогда разделяющий множитель т. е.

Исходное уравнение является (после умножения на ) уравнением в полных дифференциалах:

;

Его можно записать в виде:

;

- общий интеграл уравнения.

З а м е ч а н и е 2. Впервые Л. Эйлер указал на целый ряд типов дифференциальных уравнений 1-го порядка, которые интегрируются при помощи интегрирующего множителя. После Эйлера в исследованиях Абеля (1802-1829), Г. Якоби (1804-1851), О.М. Коркина (1837-1908) указано много типов дифференциальных уравнений 1-го порядка, интегрирование которых можно проводить при помощи интегрирующего множителя.

Из рассмотренных нами ранее типов уравнений 1-го порядка интегрируются методом интегрирующего множителя уравнения с разделяющимися переменными