Таким образом, задача отыскания интегрирующего
множителя свелась к решению дифференциального
уравнения в частных производных (4.20), т. е. к задаче более сложной, чем
решение уравнения (4.1). Поэтому уравнение (4.20) будем решать в предположении,
что искомый интегрирующий множитель
является сложной
функцией вида
,
(4.21)
где -
наперёд заданная функция
.
Подставляя (4.21) в (4.20), получим линейное
однородное уравнение относительно . В самом деле
;
,
тогда:
;
;
.
(4.22)
Из (4.22) делаем вывод, что предположение о существовании интегрирующего множителя в классе функций (4.21) справедливо лишь тогда, когда выполняется условие:
.
(4.23)
Тогда из уравнения (4.22) получаем:
,
(4.24)
решая которое, получаем:
;
;
.
(4.25)
Отметим, что если функция неизвестная,
то условие (4.20) фактически даёт относительно неё уравнение в частных
производных:
,
т.
е. уравнение вида (4.20), где - произвольная функция
переменной
. Методы решения таких уравнений будем
рассматривать позже.
.
Р е ш е н и е. Здесь ,
,
. Используем условие (4.23) и попробуем
подобрать функцию
, при которой (4.23) выполняется:
.
При
условие (4.23) выполняется, причём
. Тогда, согласно с (4.25), получаем:
.
Умножив уравнение на этот множитель, получим уравнение в полных дифференциалах:
.
Для интегрирования уравнение удобно переписать в виде:
.
Откуда
,
и таким образом общий интеграл уравнения запишется:
.
Задача нахождения значительно
упрощается в предположении, что
или
.
1.
Если , то (4.20) запишется:
;
.
Если:
,
(4.26)
то:
;
;
.
(4.27)
П р и м е р 3. Решить уравнение
.
Р е ш е н и е. Здесь ,
, откуда
,
. Тогда (4.26) получаем:
.
Тогда из (4.27):
;
.
Умножая на интегрирующий множитель, получаем
-
уравнение в полных дифференциалах.
Его левую часть можно представить в
виде т. е.
-
общий интеграл.
2. Аналогично, если , то
(4.20) запишется:
;
.
Если:
, (4.28)
то:
;
;
.
(4.29)
П р и м е р 4. Решить уравнение
.
Р
е ш е н и е. Здесь ,
,
.
Из (4.28) получаем:
.
Тогда разделяющий множитель т. е.
.
Исходное уравнение является (после умножения на ) уравнением в полных дифференциалах:
;
.
Его можно записать в виде:
;
-
общий интеграл уравнения.
З а м е ч а н и е 2. Впервые Л. Эйлер указал на целый ряд типов дифференциальных уравнений 1-го порядка, которые интегрируются при помощи интегрирующего множителя. После Эйлера в исследованиях Абеля (1802-1829), Г. Якоби (1804-1851), О.М. Коркина (1837-1908) указано много типов дифференциальных уравнений 1-го порядка, интегрирование которых можно проводить при помощи интегрирующего множителя.
Из рассмотренных нами ранее типов уравнений 1-го порядка интегрируются методом интегрирующего множителя уравнения с разделяющимися переменными
,
там , и
его называют разделяющим множителем.
Для линейного уравнения ,
которое можно записать в виде
, где
,
,
,
.
Интегрирующий множитель можно найти, положив, что
, тогда
из (4.20) имеем:
.
Интегрируя получаем:
;
.
Это и есть рассмотренный нами выше метод Эйлера интегрирования линейного уравнения.
Отметим, что поскольку однородное уравнение вида
заменой приводится
к уравнению с разделяющимися переменными, то их тоже можно интегрировать с
помощью интегрирующего множителя. При этом:
.
В самом деле, преобразуем исходное уравнение, если и
однородные
функции измерения
:
.
Сделаем
замену ,
,
, тогда:
или:
.
Это уравнение с разделяющимися переменными:
Тема: Теорема
существования и единственности решения уравнения .
Уравнения первого порядка не разрешенные относительно производной
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.