Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 20

Уравнение первого порядка степени n вида

                     (5.12)

где  - непрерывные функции в рассматриваемой области.

Предполагая, что в рассматриваемой области  в силу основной теоремы алгебры заключаем, что уравнение (5.12) определяет n значений производной y'. Отбрасывая среди этих значений мнимые, мы в некоторой окрестности точки (x0,y0) получаем m (m£n) дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной

.                                                    (5.13)

Тогда каждое из уравнений (5.13) задает в некоторой области D плоскости XOY свое поле направлений. Следовательно, если в области D удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, то через каждую точку этой области проходит m интегральных кривых. Проинтегрировав (5.13), получим общий интеграл уравнения (5.7), т.е. совокупность общих решений , или общих интегралов . Рассмотренные ранее примеры представляют уравнения рассмотренного вида.

П р и м е р 3. Решить уравнение:

Р е ш е н и е. Пусть , тогда

 - квадратное уравнение относительно y'. Отсюда,  - однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

,           или     .

или     

   или   , ,          или 

или  ,  или    

, или

, или

,  или 

,   - общий интеграл уравнения.

Уравнения вида 

,                             (5.14)

в котором уравнение имеет некоторое (конечное или бесконечное) число вещественных корней:

                                                  (5.15)

где .

Тогда из (5.15) находим , или . Следовательно, уравнение (5.14) имеет общий интеграл вида:

.                                                       (5.70)

П р и м е р 4.  Решить уравнение:

.

Тогда, в силу (5.70) его общий интеграл:

.

Уравнения вида

,                                               (5.71)

и такое, что его нельзя разрешить относительно y' (получили бы уравнение вида I), но можно разрешить относительно x, т.е.:

,                                                 (5.72)

где  - дифференцируемая функция в некоторой области изменения y'. Сделаем замену

.                                                      (5.73)

Тогда из (5.72)

.                                        (5.74)

Используя замену (5.73), выразим y через p.

.

Получаем:   .

Таким образом, уравнение (5.71) имеет семейство решений:

,                                             (5.75)

которое называют общим решением в параметрической форме. Если из системы (5.75) удается исключить параметр p, то мы получаем общее решение , или общий интеграл .

З а м е ч а н и е. Не всегда целесообразно в качестве параметра выбирать y'. Иногда удобнее брать .

Рассмотрим теперь случай, когда уравнение (5.71) нельзя разрешить ни относительно y', ни x, но можно записать в параметрической форме:

         (5.76)

так, что для всех  выполняется тождество:

             (5.77)

Из (5.76) находим  .

Тогда общее решение уравнения (5.71) представляется также параметрически:

                (5.78)

П р и м е р 5. Решить уравнение:

.

Р е ш е н и е. Данное уравнение допускает разрешение относительно x:    . Положив  , имеем (из 5.75):

Таким образом, общий интеграл в параметрической форме:

.

П р и м е р 6. Решить уравнение:

.

Р е ш е н и е.  Положим . Тогда  .

Откуда,   или  ,

,         .

Таким образом, находим:

.

Значит, общее решение в параметрической форме:

.

Уравнения вида

.                          (5.79)

Если уравнение разрешимо относительно y':

,                       (5.80)

где - один из действительных корней уравнения (5.79). Полагая, что находим

 , , .    (5.81)

Легко видеть, что в этом случае решения уравнения (5.80) будут также , где  - корни уравнения . Эти решения могут не содержаться в общем интеграле (5.81) и могут оказаться особыми решениями уравнения (5.79).

Если уравнение (5.79) разрешимо относительно y:

,

то, полагая и используя тождество , получаем:

.

Т.к. , то   и 

,                    (5.82)

Таким образом, (5.82) является общим решением уравнения (5.79), записанным в параметрической форме.