Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 20

Уравнение первого порядка степени n вида

(5.12)

где - непрерывные функции в рассматриваемой области.

Предполагая, что в рассматриваемой области в силу основной теоремы алгебры заключаем, что уравнение (5.12) определяет n значений производной y'. Отбрасывая среди этих значений мнимые, мы в некоторой окрестности точки (x₀,y₀) получаем m (m£n) дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной

. (5.13)

Тогда каждое из уравнений (5.13) задает в некоторой области D плоскости XOY свое поле направлений. Следовательно, если в области D удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, то через каждую точку этой области проходит m интегральных кривых. Проинтегрировав (5.13), получим общий интеграл уравнения (5.7), т.е. совокупность общих решений , или общих интегралов . Рассмотренные ранее примеры представляют уравнения рассмотренного вида.

П р и м е р 3. Решить уравнение:

Р е ш е н и е. Пусть , тогда

- квадратное уравнение относительно y'. Отсюда, - однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

, или .

или

или , , или

или , или

, или

, - общий интеграл уравнения.

Уравнения вида

, (5.14)

в котором уравнение имеет некоторое (конечное или бесконечное) число вещественных корней:

(5.15)

где .

Тогда из (5.15) находим , или . Следовательно, уравнение (5.14) имеет общий интеграл вида:

. (5.70)

П р и м е р 4. Решить уравнение:

Тогда, в силу (5.70) его общий интеграл:

Уравнения вида

, (5.71)

и такое, что его нельзя разрешить относительно y' (получили бы уравнение вида I), но можно разрешить относительно x, т.е.:

, (5.72)

где - дифференцируемая функция в некоторой области изменения y'. Сделаем замену

. (5.73)

Тогда из (5.72)

. (5.74)

Используя замену (5.73), выразим y через p.

Получаем: .

Таким образом, уравнение (5.71) имеет семейство решений:

, (5.75)

которое называют общим решением в параметрической форме. Если из системы (5.75) удается исключить параметр p, то мы получаем общее решение , или общий интеграл .

З а м е ч а н и е. Не всегда целесообразно в качестве параметра выбирать y'. Иногда удобнее брать .

Рассмотрим теперь случай, когда уравнение (5.71) нельзя разрешить ни относительно y', ни x, но можно записать в параметрической форме:

(5.76)

так, что для всех выполняется тождество:

(5.77)

Из (5.76) находим .

Тогда общее решение уравнения (5.71) представляется также параметрически:

(5.78)

П р и м е р 5. Решить уравнение:

Р е ш е н и е. Данное уравнение допускает разрешение относительно x: . Положив , имеем (из 5.75):

Таким образом, общий интеграл в параметрической форме:

П р и м е р 6. Решить уравнение:

Р е ш е н и е. Положим . Тогда .

Откуда, или ,

, .

Таким образом, находим:

Значит, общее решение в параметрической форме:

Уравнения вида

. (5.79)

Если уравнение разрешимо относительно y':

, (5.80)

где - один из действительных корней уравнения (5.79). Полагая, что находим

, , . (5.81)

Легко видеть, что в этом случае решения уравнения (5.80) будут также , где - корни уравнения . Эти решения могут не содержаться в общем интеграле (5.81) и могут оказаться особыми решениями уравнения (5.79).