Математика \ Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 3

1) подробному разбору условий задачи и составлению чертежа;

2) составлению дифференциального уравнения рассматриваемого процесса;

3) интегрированию составленного дифференциального уравнения, определению общего его решения;

4) нахождению частного решения задачи на основании данных начальных условий;

5) нахождению вспомогательных параметров (при этом используются дополнительные условия задачи);

6) выводу общего закона рассматриваемого процесса и нахождению числовых значений искомых величин;

7) анализу ответа и проверке исходного положения задачи.

Некоторые из этих рекомендаций в зависимости от характера задачи можно не использовать.

При составлении дифференциальных уравнений 1-го порядка из условия геометрической или физической задачи обычно приходят к одному из следующих трёх видов уравнений:

1) дифференциальному уравнению в дифференциалах;

2) дифференциальному уравнению в производных;

3) простейшему интегральному уравнению с последующим преобразованием его в дифференциальное уравнение.

Рассмотрим, как составляются уравнения каждого из приведенных видов в отдельности.

1.3.1 Уравнения в дифференциалах

При составлении дифференциальных уравнений 1-го порядка часто бывает целесообразно применять так называемый метод дифференциалов. Он заключается в том, что из условия задачи приближенным путём составляются соотношения между дифференциалами (приращениями). При этом делаются допущения, упрощающие задачу, и, вместе с тем, не отражающиеся на результатах. Так, например, малые приращения величин заменяются их дифференциалами; неравномерно протекающие физические процессы (неравномерное движение точки, нагревание или охлаждение тела, истечение жидкости из сосуда и т. д.) в течение малого промежутка времени рассматриваются как равномерные, протекающие с постоянной скоростью. Эти допущения не отражаются на правильности окончательных результатов вследствие того, что замена приращений дифференциалами сводится к отбрасыванию бесконечно малых высших порядков малости. Так как отношение дифференциалов функции и аргумента является пределом отношения их приращений, то по мере того, как приращения стремятся к нулю, наши допущения выполняются с большей точностью. Получающиеся при этом дифференциальные уравнения оказываются точными, если они однородны и линейны относительно дифференциалов.

Рассмотрим пример на составление дифференциальных уравнений с применением метода дифференциалов.

П р и м е р 1. Известно, что атмосферное давление с высотой уменьшается. Найти зависимость давления от высоты т. е. .

Р е ш е н и е. Известно, что за величину атмосферного давления принимается вес вертикального столба воздуха с площадью сечения . Проведём мысленно два горизонтальных сечения этого столба на высотах и . Разность давления на указанных высотах численно равна весу столбика воздуха между двумя сечениями: , где - масса этого воздуха; - ускорение свободного падения. Объем столбика равен , поэтому если средняя плотность воздуха в столбике равна , то , откуда и

. (1.4)

Обозначим плотность воздуха на высоте через . Тогда при средняя плотность . Переходя к пределу в (1.4) при , получаем дифференциальное уравнение

, (1.5)

в котором функция также неизвестна.

Предположим, что температура воздуха одна и та же во всех слоях атмосферы. Тогда из закона Бойля - Мариотта или из уравнения газового состояния легко получить, что давление пропорционально плотности:

(1.6)