Свойства кристаллических твёрдых тел. Колебания частиц в кристаллической решетке. Уравнение состояния твердого тела. Электронная подсистема твердого тела, страница 26

Поскольку для существования нетривиального решения определитель системы должен быть равен  нулю, находим собственные значения Гамильтониана

D(ε) = det = 0.                                                                (5.46)

Если оставить в сумме (5.42) всего два члена, то матрица оператора вектор- столбец,  и определитель D(ε)  выглядят так

,,

D(ε) = .

С учетом малого параметра δ при решении уравнений можно разлагать неизвестные величины в ряды по малому параметру

 ,  ,              (5.47)

Более подробно реализацию метода теории возмущения рассмотрим для случая, когда в невозмущенном состоянии электроны являются свободными, а в качестве возмущения выступает оператор потенциальной энергии решетки = , который считается малым. 

5.3.2. Энергетический спектр электронов с учетом взаимодействия с ионами (не вырожденный случай слабой связи)

В невозмущенном состоянии электроны являются свободными, их волновая функция имеет вид плоской волны ,

.                         (5.48)

Энергетический спектр электронов непрерывен . Попытаемся применить стационарную теорию возмущений для вычисления энергетической поправки к энергии свободного электрона. Из-за того, что энергетический спектр электронов непрерывен, волновую функцию Гамильтониана невозможно представить в виде разложения по плоским волнам. В этом случае волновая функция может быть представлена  в виде интеграла Фурье

 .               (5.49)

Подставляя (5.49) в возмущенное уравнение Шредингера, получим

()=+=

= +  =.          (5.50)

Учитывая, что оператор потенциальной энергии взаимодействия электронов с решеткой  является периодической функцией с периодом решетки, его можно представить в виде ряда Фурье

                                   (5.51)

В итоге уравнение (5.50) можно записать в виде

()=+=

=                                               (5.52)

Далее нам понадобится еще одно свойство интегралов от плоских волн

,                                  (5.53)

где - дельта функция Дирака. Это свойство аналогично свойству ортогональности дискретных собственных функций невозмущенного оператора Гамильтона (5.44) .

Умножим уравнение Шредингера (5.52) на и проинтегрируем по объему кристалла

+=

=.                                (5.54)

Поменяем теперь в (5.54) местами интегрирования и с учетом (5.53) имеем 

= ,

 .                                                (5.55)

Используя (5.55), из (5.52) приходим следующему виду уравнения Шредингера

,                          (5.56)

из которого следует определить значения энергии электронов с учетом взаимодействия их с ионами решетки {} и волновые функции  - функции С_ks. Найдем возмущение k-го уровня, и пусть в невозмущенном случае уровень не вырожден. Представим и в виде рядов по степеням малого параметра δ:

. (5.57)

Подставляя (5.57) и группируя по степеням δ, получим

                            + (5.56)

Поскольку уравнение (5.56) должно обращаться в ноль при любой степени δ, имеем

                                                   (5.57a)

                                                (5.57b)

.                      (5.57c)

В уравнениях (5.57) необходимо отдельно рассмотреть случаи

и .

В нулевом приближении из (5.57a) при   имеем

.                                      

Откуда следует, что произвольная функция своих аргументов.

В нулевом приближении из (5.57a) при  следует, что

.                                                        (5.58)

Следовательно,

или .                                      (5.59)

В первом порядке теории возмущений из (5.57b) при  получаем

.               

Отсюда следует, что произвольная функция и ее можно положить равной нулю , и с учетом (5.59) получаем первую добавку к энергии свободных электронов за счет взаимодействия их с решеткой

.                                                            (5.60)

Таким образом, поправка первого порядка к энергии электрона есть постоянная величина, равная среднему значению возмущающего потенциала в основном состоянии.

В случае  из (5.57b) получаем