Физика \ Физика твердого тела

Свойства кристаллических твёрдых тел. Колебания частиц в кристаллической решетке. Уравнение состояния твердого тела. Электронная подсистема твердого тела, страница 25

При рассмотрении поведения электронов в кристалле обычно используют два важных предположения. Первое заключается в пренебрежении влиянием движения атомов на энергетический спектр электронов. Возможность такого подхода связана с существенным различием скоростей атомов и электронов в твердом теле. Отношение скоростей атомов и электронов предстает в виде , где c, М, v_e, m — соответственно скорости и массы атомов и электронов. При выполнении такого неравенства движение электронов определяется мгновенным положением ионов (атомов), а медленное движение ионов происходит под действием лишь среднего пространственного распределения электронов. Такое приближение носит название адиабатического. Суть такого названия состоит в том, что электроны адиабатически следуют за движением ионов, поэтому можно считать, что электроны находятся просто в заданном потенциальном поле ионов. Если учитывать влияние движения ионов на энергетический спектр электронов, то придем к электрон-фотонному взаимодействию. В дальнейшем, однако, мы его не учитываем.

Второе предположение при построении энергетического спектра электронов в твердом теле состоит в пренебрежении взаимодействием электронов друг с другом. Существуют способы, с помощью которых многоэлектронную задачу удается свести к многоэлектронной (малоэлектронной?). Одним из таких методов, например, является метод Хартри—Фока, основная идея которого состоит в замене потенциальной энергии электронов некоторым эффективным потенциалом — внешним полем , в котором каждый электрон движется независимо, но в эффективном потенциальном поле, создаваемым всеми остальными зарядами. Такое предположение позволяет описывать любой электрон индивидуальной волновой функцией. Последнее обстоятельство существенно упрощает рассмотрение энергетического спектра электронов в кристалле

5.3.1. Элементы теории возмущения

Рассмотренная выше теорема Блоха определяет вид волновых функций электронов в периодическом поле решетки. Дальнейшей задачей является определение энергетического спектра электронов в периодическом поле ионов, находящихся в узлах кристаллической решетки. Для этого необходимо воспользоваться уравнением Шредингера с периодическим потенциалом поля решетки. Эта задача, в общем случае, оказывается весьма сложной, и конечные результаты в данном случае в аналитическом виде удается получить лишь в двух предельных случаях: слабой связи, когда энергия взаимодействия электронов с решеткой мала по сравнению с кинетической энергией свободных электронов, и сильной связи, когда электроны почти локализованы в потенциальном поле атома и переходы от одного атома к другому совершаются за счет туннелирования. В обоих случаях нахождения энергетического спектра можно использовать стационарную теорию возмущения (см, например, [10]). Теории возмущения может быть использована, если Гамильтониан системы можно представить в виде суммы двух операторов

, (5.40)

Здесь — оператор невозмущенной системы, - оператор возмущения (например, потенциальная энергия взаимодействия электронов с ионами решетки, которая считается малой по сравнению с энергией свободных электронов), δ << 1 – малый параметр задачи.

При этом энергетический спектр {} и волновые функции {} могут быть легко определены.

= (5.41)

Волновую функцию общего Гамильтониана электрона можно искать в виде разложения по собственным функциям невозмущенного состояния, представив ее в виде: