Навчально-методичний посібник для організації самостійної та індивідуальної роботи з дисципліни "Вища математика" (частина І), страница 33

Формула для знаходження оберненої матриці:  , де  - визначник матриці А,  - алгебраїчні доповнення елементів а_ij.

Матричний метод: Розв’язок квадратної системи (1’), визначник якої не дорівнює нулю, знаходиться за формулою:

.

Дві системи рівнянь називаються рівносильними, якщо вони мають однакову множину розв’язків. Від даної системи до рівносильної їй можна прийти за допомогою еквівалентних перетворень систем рівнянь, до яких відносяться множення обох частин рівнянь на ненульове число та складання відповідних частин рівнянь системи.

Метод Гаусса (метод послідовних виключень) полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи ступінчастого (або трикутного) вигляду, з якої послідовно, починаючи з останніх за номером змінних, знаходяться усі інші змінні.

Метод Жордана-Гаусса (метод повного виключення) полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи діагонального вигляду.

Розглянемо матрицю

.

Виділимо в ній будь-які k рядків та k стовпців. Елементи, розміщені на їх перетині, утворюють квадратну матрицю k –го порядку; визначник цієї матриці називається мінором k–го порядку матриці А.

Рангом r(A) матриці Aназивається найбільший порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці.

При знаходженні рангу користуються тим , що ранг не змінюється при виконанні елементарних перетворень над матрицею, до яких відносяться такі операції:

1) переставлення місцями будь-яких двох рядків (стовпців);

2) множення усіх елементів будь-якого рядка (стовпця) на відмінне від нуля число;

3) додавання до усіх елементів деякого рядка (стовпця) матриці відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на одне й те саме число;

4) відкидання нульового рядка (стовпця).

2. Матриця  називається розширеною матрицею системи (1).

Теорема (Кронекера-Капеллі). Система лінійних рівнянь (1) сумісна тоді і лише тоді, коли ранг розширеної матриці системи дорівнює рангу матриці системи: .

Перед виконанням завдання № 1 рекомендується опрацювати приклади 3.1-3.7 глави ІІ.

§4. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ДО ЗАВДАННЯ №2

Література: [1], т. І, с. 125-139, [2], с. 227-238, [3], с. 82-115.

Вектор  – це напрямлений відрізок, довжина якого називається модулем вектора (пишуть ).

Два вектори  і  називаються протилежними, якщо для них виконується рівність .

Два колінеарних (паралельних) вектора  і відрізняються скалярним множником .

Розкладання вектора за координатними осями Ox, Oy, Ozзаписується у вигляді , або , де x, y, z– проекції вектора  на Ox, Oy, Oz;  – одиничні вектори (орти), які співпадають за напрямком з цими осями. Проекції x, y, zназиваються координатами вектора.

Довжина вектора  знаходиться за формулою .

Якщо α, β, γ – кути між вектором  і осями Ox, Oy, Oz, то cosα, cosβ, cosγ називаються напрямними косинусами вектора  і обчислюються за формулою .

Якщо відомі координати точок А(x₁, y₁, z₁) і В(x₂, y₂, z₂), то .

Якщо два вектори = (x₁, y₁, z₁) і =(x₂, y₂, z₂) колінеарні, то їхні координати пропорційні, тобто

.

Координати точки М(x₁, y₁, z₁), яка поділяє напрямлений відрізок  у даному відношенні λ , визначаються за формулами

.

Скалярним добутком двох векторів  і  називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

.

Якщо вектори задані своїми координатами, то

.

Проекція вектора  на вектор  та кут між ними визначаються за формулами

.

Упорядковану сукупність n дійсних чисел називають n-вимірним вектором = (a₁,a₂,…a_n), числа  – координати вектора.

Сукупність усіх n-вимірних векторів називається n-вимірним векторним простором. Позначення Rⁿ.

Система векторів  називається лінійно залежною, якщо існують такі не всі рівні нулю числа α₁, α₂,..., α_m, що має місце співвідношення

.

У протилежному випадку дана система векторів називається лінійно незалежною, тобто указана рівність має місце лише у випадку, коли всі α_i =0.

Будь-які nлінійно незалежних векторів утворюють базис n-вимірного простору.

Нехай вектори  утворюють базис в Rⁿ. Тоді будь-який вектор  можна розкласти за цим базисом, тобто

.