Навчально-методичний посібник для організації самостійної та індивідуальної роботи з дисципліни "Вища математика" (частина І), страница 12

Ділимо друге рівняння на  і виключаємо х₂ з третього рівняння

Останнє рівняння є тотожністю, його можна відкинути. Одержимо систему

Покладаємо х₃ = t. Тоді з другого рівняння

і з першого рівняння

.

Таким чином, загальний розв’язок системи рівнянь має вигляд

   , де t може приймати будь-які числові значення.

Відповідь:  -  будь-яке число.

3.6. Розв’язати систему лінійних рівнянь, наведену у прикладі 1, методом Жордана – Гаусса.

Пояснення до розрахункової таблиці

Обираємо розв’язувальний елемент а₃₁ (розв’язувальний рядок – третій). Елементи стовпця контрольної суми  ( S ) обчислюємо як суму елементів відповідного рядка (наприклад, для першого рядка: 1 + 2 + (-1) + (-3) = -1).

Шляхом елементарних перетворень (множенням елементів розв’язувального рядка на (-1) і додаванням до відповідних елементів першого рядка та множенням елементів розв’язувального рядка на (-2) і додаванням до відповідних елементів другого рядка) обчислимо всі елементи першого та другого рядків, у тому числі і елементи стовпця контрольної суми (розв’язувальний рядок залишається без змін). У результаті виконаних дій одержуємо одиничний вектор у розв’язувальному стовпці. Робимо перевірку правильності розрахунків, порівнюючи суму елементів кожного рядка з відповідним елементом контрольного стовпця.

На другому кроці розв’язувальним елементом може бути обраний будь-який, що не розташований у третьому рядку та першому стовпці, так як на першому кроці розв’язувальним був елемент а_31. Обираємо, наприклад, а₁₂ (тепер розв’язувальний рядок – перший). Слід звернути увагу на коефіцієнт при розв’язувальному елементі: він повинен дорівнювати одиниці. Щоб виконати дану умову, необхідно елементи розв’язувального рядка помножити на 1/3, і далі виконувати дії, як і на попередньому кроці. Таким чином, одержимо три одиничних вектори у перших трьох стовпцях розрахункової таблиці. Розв’язок системи знайдемо у  стовпці вільних членів (b_і) проти відповідних одиниць ( з першого рядка: у = -2,        з другого рядка: z = 1,     з третього рядка: х = 2).

Відповідь: x = 2, y = -2, z = 1.

3.7. Дослідити систему на сумісність.

Виконаємо елементарні перетворення над розширеною матрицею системи:

.

Визначимо ранг матриці А, розширеної матриці та кількість невідомих системи рівнянь:

r (A) = r (A*) = n = 3

За теоремою Кронекера-Капеллі система визначена і сумісна.

Задачі, рекомендовані до розв’язання на практичних заняттях з розділу 3

1. Розв`язати системи лінійних рівнянь за правилом Крамера, матричним методом, методом Гаусса та Жордана-Гаусса.

1)                       2)

3)                         4)

5)                  6)

7)                   8)

9)                     10)

2. Розв’язати системи лінійних рівнянь методами Гаусса та Жордана- Гаусса: