Навчально-методичний посібник для організації самостійної та індивідуальної роботи з дисципліни "Вища математика" (частина І), страница 23

Рекомендована література:

[1], т. І, с.174-180, с.180-194

[2], с.337-360

[3], с. 177-185, с.186-214

Рекомендації до розв’язання типових прикладів розділу 6

6.1. Знайти .

Розв¢язання. Маємо невизначеність . В подібних випадках чисельник і знаменник треба розділити на найвищий степінь х, що входить до них

6.2. Знайти

Розв¢язання. Чисельник і знаменник дробу необмежено зростають при В такому випадку кажуть, що має місце невизначеність виду . Розділивши на х чисельник і знаменник дробу, одержимо:

тому що при х → ¥ кожен з дробів 5/х і 7/х прямують до нуля.

6.3. Знайти

Розв¢язання. Розділимо чисельник і знаменник на х⁴:

6.4. Знайти

Розв¢язання. Має місце невизначеність виду ¥ - ¥. Помножимо і розділимо вираз на спряжений

6.5. Знайти

Розв¢язання. Підстановка значення х=1 під знак границі приводить до невизначеності Розкладемо чисельник і знаменник на множники і скоротимо на х-1 (х ≠ 1):

6.6. Знайти

Розв¢язання. Має місце невизначеність виду 0/0. Розкладемо на множники чисельник і знаменник дробу:

6.7. Знайти

Розв¢язання. Помножимо чисельник і знаменник дробу на суму

6.8. Знайти

Розв¢язання. Маємо невизначеність виду щоб її розкрити, множимо чисельник і знаменник на вираз, спряжений чисельнику. Після цього можна скоротити на х² і скористатися теоремою про границю дробу

6.9. Знайти

Розв¢язання. Множимо чисельник на такий множник, щоб одержати різницю кубів, тобто

Згадаємо, що a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²).

Прийнявши різницю за різницю основ, помічаємо, що її треба домножити на неповний квадрат суми, тобто на

На цей множник треба помножити і знаменник:

6.10. Знайти .

Розв¢язання. Згідно відомій тригонометричній формулі,

cos 3x-cos x= -2sin 2x sinx.

Оскільки sinx ~ x, sin2x ~ 2x, arcsin²3x ~(3x)², (див. (1),(3))

6.11. Знайти

Розв¢язання. Чисельник і знаменник- нескінченно малі функції. Однак х не є нескінченно малою функцією (прямує не до нуля, а до p), тому співвідношення sin2x ~ 2x не має змісту. Введемо нескінченно малу a= p -х, тоді х= p -a і

6.12. Знайти

Розв¢язання. Зробимо попередню заміну змінної. Якщо ввести позначення х-1 = a, то a® 0 при х® 1; тоді,користуючись (2), маємо:

6.13. Знайти

Розв¢язання. Маємо невизначеність 1^¥, тоді за другою особливою границею (див.(6)):

6.14. Знайти

Розв¢язання. Діленням чисельника дробу на знаменник виділимо цілу частину:

Таким чином, при х® ¥ ця функція представляє собою степінь, основа якого прямує до одиниці, а показник - до нескінченності (невизначеність виду 1^¥). Перетворюючи функцію так, щоб використати другу особливу границю, одержимо

при х® ¥, тому

Прийнявши до уваги, що одержуємо

6.15. Знайти

Розв¢язання. тому, користуючись (2) та (7), маємо:

6.16. Знайти

Розв¢язання. Оскільки ~ при х® 0, (див.(4)), а

e^-2^x-1 ~(-2x) при х®0 (див.(10)), то

6.17. Знайти

Розв¢язання.

lncosx = ln (1+cosx-1)~ cosx-1 (за формулою (8))

(a = cosx -1 ® 0 при х® 0).

За другим правилом граничного переходу, використовуючи (5), одержимо:

6.18.Дослідити на неперервність і знайти точки розриву функції .

Розв’язання. Ця функція є дробово-раціональною, і тому вона неперервна в усіх точках, в яких знаменник відмінний від нуля. В точках х=±2 функція не визначена, і тому розривна. Неважко перевірити, що в обох цих точках односторонні границі нескінченні:

, , , .

Отже, х=±2 – точки розриву другого роду.

6.19. Внесок А = 100.000 гр.од. вкладений під складні відсотки (6 %) терміном на три роки. Обчислити кінцеву суму, якщо відсотки нараховуються неперервно.

Розв’язання:Сума внеску обчислюється за формулою .