Навчально-методичний посібник для організації самостійної та індивідуальної роботи з дисципліни "Вища математика" (частина І), страница 17

знати: основні поняття векторної алгебри (вектор, дії з векторами, координати вектора, скалярний, векторний, мішаний добутки векторів, базис векторного простору), економічну інтерпретацію основних понять та дій векторної алгебри; основні поняття аналітичної геометрії (рівняння лінії на площині, рівняння лінії 2-го порядку на площині, рівняння площини та прямої у просторі, рівняння поверхні другого порядку), інтерпретацію основних ліній та поверхонь як математичних моделей економічних процесів;

вміти: виконувати дії з векторами, в тому числі, з використанням скалярного, векторного, мішаного добутків векторів, розкладати вектор за базисом; складати рівняння прямої на площині у різних виглядах, рівняння площини та прямої у просторі у різних виглядах, знаходити відстань від точки до прямої, від точки до площин , досліджувати взаємне розташування прямих та площин.

Рекомендована література:

[1], т. І, с. 125-139, с. 142-157, с.162-169.

[2], с. 227-238, с.239-250, с.269-291.

[3], с. 82-115, с. 116-170.

Рекомендації до розв’язання типових прикладів розділу 5

5.1.Знайти довжину вектора , якщо відомі координати точок А(2; -1), В(-3; 0), С(5; -2).

Розв¢язання.

1)  Якщо вектор  має своїм початком точку А(х₁; у₁; z₁), а кінцем точку В(х₂; y₂; z₂), то координати вектора  обчислюються за правилом:

2)  Якщо  то

3)Якщо  то довжина . Тоді

 

5.2.Знайти орт вектора

Розв’язання.

,

Тоді

Відповідь:

5.3.У трикутнику з вершинами А(2;-1;3), В(-2;2;5), С(1;2;3) знайти кут при вершині А.

Розв¢язання.

 тоді

cosj=

j » arccos 0,763 »40°18¢.

5.4.Знайти точку D так, щоб чотирикутник АВСD був паралелограмом, якщо

А(-2; 0), В(1; -3), С(2; 5).

Розв¢язання.

Якщо АВСD- паралелограм, то  а два вектори рівні, якщо рівні відповідні координати. Позначимо через х,у невідомі координати точки D. Тоді

З умови рівності координат маємо:

2 –х = 3, 5-у =-3, звідси х = -1, у = 8.

Отже, одержали координати точки D (-1; 8).

5.5.Знайти точку С на осі Оy  так, щоб кут АВС був прямим, якщо задані точки А(6; 4), В(-2; 5).

Розв¢язання.

Введемо (0; у) –координати точки С. Необхідною та недостатньою умовою ортогональності векторів   є рівність нулю їх скалярного добутку:  Скористуємося формулою для обчислення скалярного добутку:

 де

Тоді маємо 8×2 -1×(у-5) =0, 16 – у + 5 =0, у = 21.

Отже, маємо С(0; 21).

5.6.Розкласти вектор по векторах   та

 

Розв¢язання.

Розкласти вектор  по векторах  означає представити його у вигляді лінійної комбінації

- поки ще невідомі числа. Переходячи до координат, одержимо

У результаті приходимо до системи рівнянь

  , вирішуючи яку, знаходимо:

Звідси  

5.7. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки М(-1; 3) та N(2; 5)

Розв’язання.

Скористаємося рівнянням прямої на площині, що проходить через точки М₁(х₁; у₁)та М₂(х₂; у₂):

.

Підставляючи в це рівняння наші  дані, одержуємо

 або  .

Рівняння має вигляд 2х –3у +11= 0.

Корисно перевірити, що рівняння складено вірно. Для цього достатньо показати, що координати точок М та Nзадовольняють рівнянню прямої. Дійсно, рівності

2(-1)-3·3+11= 0, 2·2- 3·5 +11=0 виконуються тотожно.

5.8. Дані вершини трикутника: M(0;1); N(6;5) та С(12;-1). Скласти рівняння висоти трикутника, проведеної з вершини С.

Розв’язання.

 

Скористаємося рівнянням прямої на площині, яка проходить через точку C(x₀; y₀)та має вектор нормалі :

A(х-х₀) + В(у-у₀) =0.

Зі схематичного рисунка видно, що в якості вектора нормалі прямої СК можна взяти вектор . Тоді маємо:

6(x-12) + 4(у+1) =0, звідки одержуємо 3х +2у –34 =0.

5.9. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М(-2; -5) і паралельно прямій 3х +4у +2 =0.

Розв’язання.

З схематичного рисунка бачимо, що вектор нормалі даної прямої є і вектором нормалі шуканої прямої. Тоді, застосувавши рівняння з попередньої задачі, маємо:

3(х+2) + 4(у+5) =0, звідки 3х + 4у +26 =0.

5.10. Дані вершини трикутника А(-2; -3), В(5; 4) та С(-1; 2). Скласти рівняння медіани АМ.

Розв’язання.

Точка М –середина сторони ВС, тому

.