Навчально-методичний посібник для організації самостійної та індивідуальної роботи з дисципліни "Вища математика" (частина І), страница 32

Матрицею називається упорядкована таблиця чисел:

 - матриця розміром mxn, а_ij – елементи матриці, де  i -номер рядка матрицi (i =1,…,m), j - номер стовпця матрицi (j=1,…,n), на перетинi яких знаходиться відповідний елемент.

Види матриць

1)Якщо кiлькiсть рядкiв матрицi m  не  дорiвнює  кiлькостi  її стовпцiв n, то матриця називається прямокутною.

2) Матриця, в якій кількість n рядків дорівнює кількості стовпців, називається квадратною  n-го порядку.

3) Нульовою матрицею називається матриця, в якій всі елементи дорівнюють нулю.

4) Матрицю, що має тiльки один рядок (стовпець), називають вектором-рядком (вектором-стовпцем).

5) Дiагональна  матриця має вигляд:

.

6) Одинична матриця n-го порядку:

7) Якщо в матрицi  А  помiняти мiсцями вiдповiднi рядки i стовпцi, то одержимо матрицю А^T, яка  називається транспонованою матрицею по вiдношенню до матрицi А.

Дiї над матрицями

1) Сумою двох матриць А і В рівних розмірів  (mхn)  називається матриця С  того  ж  розміру,  елементи  якої  с_ij  дорівнюють  сумі відповідних елементів матриць А і В.

2) Добутком матриці на число називається матриця, елементи якої одержані з даної множенням усіх її елементів на це число.

3) Добутком матриць А і В  називається  матриця  С, елемент  якої дорівнює сумі попарних добутків елементів i-того рядка матриці А на  відповідні елементи j-го стовпця матриці В.

Визначником 2-го порядку, складеним для квадратної матриці А=, називається число

.

Визначником 3-го порядку, складеним для квадратної матриці А=,   називається число     =

 (правило трикутника).

Схематичне зображення правила трикутника:

 

Основні властивості визначників

Визначник не зміниться, якщо його рядки поміняти місцями з відповідними стовпцями.

При переставленні місцями будь-яких двох рядків визначник змінює знак на протилежний.

Якщо відповідні елементи двох рядків визначника рівні або пропорціональні, то визначник дорівнює нулю.

Якщо всі елементи якого-небудь рядка дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

Загальний множник всіх елементів рядка можна винести за знак визначника.

Якщо кожний елемент деякого рядка визначника є сумою двох доданків, то цей визначник дорівнює сумі двох визначників, в одному з яких у тому ж рядку стоять перші доданки, а у другому – другі. Інші рядки у обох визначників однакові та співпадають з відповідними рядками даного визначника.

Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка  додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне й те ж саме число.

Мінор M_ij  елемента а_ij визначника – це визначник, який одержано з даноговикресленням  і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент.

Алгебраїчне доповнення А_ij елемента а_ij – це мінор М_ij цього елемента, взятий з відповідним знаком за схемою .

Теорема (про розкладання визначника за елементами рядка або стовпця). Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення.

Система т лінійних рівнянь з п невідомими має вигляд:

                  (1)

де  - дійсні числа, які називають коефіцієнтами системи, , i =1,…,m - вільні члени або праві частини рівнянь, , j=1,…,n - невідомі. Якщо n=m, то система називається квадратною. Запис системи (1) в матричному вигляді:

,                            (1’)

де  – матриця системи, складена із коефіцієнтів при невідомих,  - вектор-стовпець невідомих,

 - вектор-стовпець вільних членів.

Розв’яком системи (1) називається така сукупність n чисел , при підстановці яких кожне рівняння системи перетворюється на вірну рівність.

 

Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

                               (2)

Визначник   називається визначником системи (2).

Складемо визначники:

, .

Теорема (Крамера). Якщо визначник системи (2) не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами:

.

Матрицю А^-1 називають оберненою по відношенню до квадратної матриці А, якщо

, де Е – одинична матриця.

Для того, щоб квадратна матриця А мала обернену, необхідно і достатньо, щоб визначник  матриці А не дорівнював нулю.