Математика \ Высшая математика

Навчально-методичний посібник для організації самостійної та індивідуальної роботи з дисципліни "Вища математика" (частина І), страница 20

Підставляючи наші дані,одержуємо:

або

5.25. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М₀(1,-1,2) перпендикулярно площині х-2у-1=0.

Розв’язання.

В якості напрямного вектора візьмемо нормальний вектор заданої площини.

Тоді канонічні рівняння прямої будуть мати вид

Тут 0 у знаменнику означає, що пряма перпендикулярна осі OZ.

5.26.Знайти величину кута j між площинами 2x+3y-5z+2=0 та 3x-4y+2z-7=0.

Розв’язання.Оскільки кут між площинами дорівнює куту між їх нормальними векторами то

j»arccos(-0,4820) »118,82°.

Відповідь: j »118,82°.

5.27. Знайти величину кута a між прямою та площиною

2х – у + 3z+ 5=0.

Розв’язання. - напрямний вектор прямої, -вектор нормалі площини, тому

Таким чином, a=arcsin 0,891»63⁰.

Відповідь: a »63⁰.

5.28.Знайти відстань від точки К(1,6,3) до площини,що проходить через точки А(4,5,2), В(-1,11,-6) та С(2,-1,3).

Розв’язання.

Складемо рівняння площини, що проходить через три точки:

Скористаємося формулою для знаходження відстані d від точки К( x₀; y₀; z₀) до площини Аx +Вy +Сz +D=0:

Підставляючи наші дані, маємо:

5.29. Знайти точку перетину прямої і площини

3х +5у –z –2=0.

Розв’язання. Перетворивши канонічні рівняння прямої до параметричного виду

х = 4t + 12, y = 3t + 9, z = t +1 і підставивши їх в рівняння площини, знайдемо:

3(4t +12) + 5(3t +9)- (t+1)-2 = 0, звідки 26t=-78, t =-3.

Задані пряма і площина перетинаються в точці з координатами

х= 4×(-3)+12=0; у=3×(-3)+9=0; z=-3+1=-2.

Отже, пряма і площина перетинаються у точці (0;0;-2).

Задачі, рекомендовані до розв’язання на практичних заняттях з розділу 5

1. За даними векторами і побудувати кожен з наступних векторів: 1) + ; 2) –; 3) – ; 4) – –.

2. Маємо: Обчислити |

3. Маємо: |та |Визначити |

4. Вектори a і b взаємно перпендикулярні, причому ||= 5 і ||=12. Визначити || та ||.

5. Вектори і утворюють кут j = 60°, причому ||=5 і ||=8. Визначити || та ||.

6. Вектори і утворюють кут j = 120°, причому ||=3 і ||=5. Визначити || та ||.

7. Якій умові повинні задовольняти вектори і щоб мали місце такі співвідношення: 1)||=||; 2)||>||; 3)

8. Якій умові повинні задовольняти вектори і , щоб вектор ділив навпіл кут між векторами і .

9. За даними векторами і побудувати такі вектори:

10. Точка О є центром ваги трикутника АВС. Довести, що

11. Перевірити колінеарність векторів ={2; -1; 3} і {-6; 3; -9}. Визначити, який з них довше і у скільки разів, як вони направлені - в один бік чи в протилежні сторони.

12. Визначити, при яких значеннях a,b вектори =-2i+3j+bk та =ai-6j+2k колінеарні.

13. Перевірити та впевнитись, що чотири точки А(3; -1; 2), В(1; 2;-1), С(-1;1;-3), D(5;0;4) служать вершинами трапеції.

14. Маємо точки А(-1; 5; -10), В(5; -7; 8), С(2; 2; -7) та D(5; -4;2). Перевірити і впевнитись, що вектори та колінеарні; встановити який з них довше і у скільки разів, як вони направлені - в один бік чи в протилежні сторони.

15. Маємо дві вершини А(2; -3;-5), В(-1;3; 2) паралелограма АВСD і точку перетину його діагоналей Е(4; -1; 7).Визначити дві інші вершини цього паралелограма.

16. Маємо три вершини А(3; -4; 7), В(-5; 3; -2) та С(-4; 2; -3) паралелограма АВСD. Знайти його четверту вершину D, протилежну В.

17. Знайти орт вектора: а) = (6; -2; -3); б) = (3; 4; -12).

18. На площині є три вектори =(3; -2), (-2; 1) та =(7; -4). Визначити розклад кожного з цих трьох векторів, приймаючи в якості базису два інших.

19. Маємо три вектори =(3; -1), (1; -2) та =(-1; 7). Визначити розклад вектора за базисом

20. Маємо три вектори =(3; -2; 1), =(-1; 1; -2) та =(2; 1; -3). Знайти розклад вектора = (11; -6; 5) за базисом

21. Маємо чотири вектори =(2; 1; 0), (1; -1; 2), =(2; 2; -1), (3; 7; -7). Визначити розклад кожного з цих чотирьох векторів, приймаючи в якості базису останні три.