Первичная обработка статистических данных. Практическое пособие, страница 30

Процентили – это числа, обозначаемые через , которые делят исследуемую выборку на 100 равных частей.

Определение 2.26k-ым процентилем упорядоченной выборки (0  100) называется число  ,  удовлетворяющее двум условиям:

1)  в выборке имеется не более  k% значений, меньших числа   ;

2)  в выборке имеется не более    %   значений больших числа  .

Например, если двадцатый процентиль , то в выборке содержится не более 20 % значений, меньших 14, и не более             (100 – 20) % = 80 % значений, больших 14. Очевидно, что 50-й процентиль   совпадает с медианой выборки:    Нулевой процентиль  является  наименьшим выборочным значением. Сотый процентиль  равен наибольшему выборочному значению.

Более часто используемыми характеристиками локализации отдельных частей выборки являются так называемые квартили. Квартили – это числа, обозначаемые через  которые делят упорядоченную выборку на четыре части:

Первый квартиль выборки  совпадает с 25-м процентилем выборки, то есть  является числом, большим не более 25 % выборочных значений, и меньшим не более 75 % значений.

Второй квартиль  является медианой. Третий квартиль  совпадает с 75-ым процентилем. Число  делит выборку на две части: первая часть, содержащая значения меньшие числа , составляет не более 75 % выборки, вторая часть, содержащая выборочные значения, большие числа, составляет не более 25 % выборки. Итак, , , .

Алгоритм  вычисления  k-го процентиля

1. Выборка записывается в порядке возрастания выборочных значений от меньшего к большему. Если объем выборки равен  n, то после упорядочения каждое выборочное значение занимает определенную позицию или определенный номер от  1  до  n.

2. Если  k = 50, то процентиль  совпадает с медианой и находится по алгоритму определения медианы.

3. При  k < 50, вначале вычисляется вспомогательное значение , где n – объем выборки. Если   получается дробным числом, то оно округляется до следующего за ним целого числа . Например,  если , то  . Если  выражается целым числом, то берутся два целых числа  и следующее за ним . Например, если , то берутся  .

4. При k > 50 вместо k используется значение  , которое меньше 50. Затем для  выполняются необходимые вычисления из пункта 3 для нахождения либо одного целого числа  ,  либо двух чисел    и  . Находится значение процентиля  .

5. Если k < 50, то от начала выборки отсчитывается позиция с        номером  . Если  – единственное значение, найденное по третьему пункту, то выборочное значение , стоящее на месте с номером  и будет являться k-ым процентилем: .  Если были взяты два значения    и  , то находятся два выборочных значения  , стоящих на местах с номерами    и  . Процентиль    равен полусумме этих значений:

.

Если k > 50, то позиция с номером  или позиции с номерами  и  отсчитываются от конца выборки. Затем значение    находится так же, как и для  k < 50.

По этой схеме вычисляются и квартили.

Пример 2.31 Рассмотрим данные о весе багажа, зарегистрированного пассажирами самолета одного авиарейса.

5,7         10,6     14,8    23,6    29,7     35,5     46,4     56,5

7,4     10,8    15,6    24,4     32,2     36,7     48,1     58,2

8,2     11,7     16,7    25,7     32,6     38,4     49,5     64,8

9,4     12,5    20,4     27,2    33,5    44,3     52,8    68,7

9,8     13,4     22,5    28,5    34,6    45,2     54,7     70,2

По условию   – это объем данной выборки. Найдем первый квартиль , совпадающий с 25-м процентилем . Итак, . Вычислим . Получилось целое число, поэтому берем два значения  и . Находим два выборочных значения, стоящие на 10-м и 11-м местах:  и , 25-й процентиль равен их полусумме: . Итак . Найдем второй квартиль . Так как   – четное число, то находим два выборочных значения, стоящих  на  -м месте и на – месте:   и  x₂₁ = 29,7. Медиана  равна их полусумме: . Итак, .