Определение 2.13 Стандартным отклонением выборки x1, x2, …, xn называется число S, которое вычисляется по формуле:
.
Таким образом, выборочное стандартное отклонение равно квадратному корню из выборочной дисперсии, следовательно, справедливы формулы:
либо
Пример 2.21 В течение пяти дней студент Ковалев записывал стоимость обедов в студенческой столовой: 3,2; 4,8; 5,6; 4,5; 5,4. Найдем выборочную дисперсию и стандартное отклонение.
Сначала определим среднее:
Вычислим дисперсию:
Найдем стандартное отклонение:
Округлим полученное значение: S = 0,95 условных рублей.
■
Определение 2.14 Выборочной дисперсией вариационного ряда x1, x2, …, xn с соответствующими частотами называется число , определяемое формулой:
или
соответственно, при малом и большом значении n,где .
Пример 2.22 Для социологического исследования были собраны данные о количественном составе 20 семей, приведенные в следующей таблице.
Таблица 2.16 – Количественный состав семей
Количество членов семьи |
1 2 3 4 5 6 |
2 3 8 5 1 1 |
Найдем среднее, дисперсию и стандартное отклонение:
n = 2 + 3 + 8 + 5 + 1 + 1 = 20;
.
Округлим S2 = 1,50 и S = 1,23. Итак, – это среднее число членов семьи, S = 1,23 – это стандартное отклонение от среднего.
■
Определение 2.15 Выборочной дисперсией статистического ряда, состоящего из k интервалов с соответствующими интервальными средними и интервальными частотами , называется число , равное:
или ,
соответственно, при малом и большом значении n, где .
Пример 2.23 Результаты экзамена по высшей математике пятидесяти студентов представлены следующим статистическим рядом. Используется десятибалльная система оценок. Найдем среднее и стандартное отклонение.
Таблица 2.17 – Итоги экзамена по высшей математике
Оценка |
0–2 |
2–4 |
4–6 |
6–8 |
8–1 |
3 |
9 |
16 |
14 |
8 |
Итак,
Найдем интервальные средние:
Вычислим среднее:
Найдем дисперсию данной выборки:
Определим значение стандартного отклонения:
.
Итак, средняя оценка студентов I курса составляет 5,6 баллов. Стандартное отклонение баллов показывает, что оценки большинства студентов отличаются от среднего не более, чем на 2,26 баллов.
■
Таким образом, для вычисления выборочной дисперсии необходимо найти значение среднего , вычислить сумму квадратов отклонений выборочный значений от среднего и разделить ее на n – 1, где n – число всех наблюдений. Извлечение квадратного корня при нахождении стандартного отклонения возвращает к первоначальному масштабу единицы измерения.
Обработка и анализ статических данных требует кропотливой и нелегкой вычислительной работы. Для организации вычислений в математической статистике часто используются специальные таблицы.
Пример 2.24 Найдем среднее и стандартное отклонение для статистического ряда из примера 1.4 о высоте городских зданий. Все необходимые вычисления будем записывать в таблицу 2.18.
Из таблицы 2.18 берем необходимые промежуточные результаты:
Итак, среднее высоты зданий равно 27,12 метров, а стандартное отклонение равно 9,96 метров.
Таблица 2.18 – Вычисление среднего и стандартного отклонения высоты зданий
Высота |
Интервальное среднее |
Частота |
||||
5–10 10–15 15–20 20–25 25–30 30–35 35–40 40–45 35–50 |
7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 |
2 3 5 6 8 7 5 3 1 |
15 37,5 87,5 135 220 227,5 187,5 127,5 47,5 |
-19,625 -14,625 -9,625 -4,625 0,375 5,375 10,375 15,375 20,375 |
385,14062 213,89062 92,64065 21,390625 0,140625 28,890625 107,64062 236,39062 415,14062 |
770,28124 641,67186 463,20312 128,34375 1,12500 202,23437 538,20310 709,17186 415,14062 |
Сумма |
40 |
1085 |
3869,3447 |
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.