Первичная обработка статистических данных. Практическое пособие, страница 25

Определение 2.13 Стандартным отклонением выборки         x1, x2, …, xn называется число S, которое вычисляется по формуле:

.

Таким образом, выборочное стандартное отклонение равно квадратному корню из выборочной дисперсии, следовательно, справедливы формулы:

либо   

Пример 2.21  В течение пяти дней студент Ковалев записывал стоимость обедов в студенческой столовой: 3,2; 4,8; 5,6; 4,5; 5,4. Найдем выборочную дисперсию и стандартное отклонение.

Сначала определим среднее:

Вычислим дисперсию:

Найдем стандартное отклонение:

Округлим полученное значение:  S = 0,95 условных рублей.

Определение 2.14   Выборочной дисперсией вариационного ряда x1, x2, …, xn с соответствующими частотами    называется число  ,  определяемое формулой:

     или     

соответственно, при малом и большом значении n,где  .

Пример 2.22 Для социологического исследования были собраны данные о количественном составе 20 семей, приведенные в следующей таблице.

 Таблица 2.16  Количественный состав семей

Количество членов

семьи

1            2            3           4           5          6

2            3            8           5           1          1

Найдем среднее, дисперсию и стандартное отклонение:

n = 2 + 3 + 8 + 5 + 1 + 1 = 20;

.

Округлим S2 = 1,50 и S = 1,23. Итак,  – это среднее число членов семьи, S = 1,23 – это стандартное отклонение от среднего.

Определение 2.15 Выборочной дисперсией статистического ряда, состоящего из  k  интервалов с  соответствующими интервальными средними  и интервальными частотами , называется число  ,  равное:

     или     ,

соответственно, при малом и большом значении n, где  .

Пример 2.23 Результаты экзамена по высшей математике пятидесяти студентов представлены следующим статистическим рядом. Используется десятибалльная система оценок. Найдем среднее и стандартное отклонение.

 Таблица 2.17 – Итоги экзамена по высшей математике

Оценка

0–2

2–4

4–6

6–8

8–1

3

9

16

14

8

Итак, 

Найдем интервальные средние:

Вычислим среднее:

Найдем дисперсию данной выборки:

Определим значение стандартного отклонения:

.

Итак, средняя оценка студентов I курса составляет 5,6 баллов. Стандартное отклонение  баллов показывает, что оценки большинства студентов отличаются от среднего не более, чем на 2,26 баллов.

Таким образом, для вычисления выборочной дисперсии необходимо найти значение среднего , вычислить сумму квадратов отклонений выборочный значений от среднего и разделить ее на   n – 1, где n – число всех наблюдений. Извлечение квадратного корня при нахождении стандартного отклонения возвращает к первоначальному масштабу единицы измерения.

Обработка и анализ статических данных требует кропотливой и нелегкой вычислительной работы. Для организации вычислений в математической статистике часто используются специальные таблицы.

Пример 2.24 Найдем среднее и стандартное отклонение для статистического ряда из примера 1.4 о высоте городских зданий. Все необходимые вычисления будем записывать в таблицу 2.18.

Из таблицы 2.18  берем необходимые промежуточные результаты:

Итак, среднее высоты зданий равно 27,12 метров, а стандартное отклонение  равно 9,96 метров.

Таблица 2.18 – Вычисление среднего и стандартного отклонения высоты зданий

Высота

Интервальное

среднее

Частота

5–10

10–15

15–20

20–25

25–30

30–35

35–40

40–45

35–50

7,5

12,5

17,5

22,5

27,5

32,5

37,5

42,5

47,5

2

3

5

6

8

7

5

3

1

15

37,5

87,5

135

220

227,5

187,5

127,5

47,5

-19,625

-14,625

-9,625

-4,625

0,375

5,375

10,375

15,375

20,375

385,14062

213,89062

92,64065

21,390625

0,140625

28,890625

107,64062

236,39062

415,14062

770,28124

641,67186

463,20312

128,34375

1,12500

202,23437

538,20310

709,17186

415,14062

Сумма

40

1085

3869,3447