Первичная обработка статистических данных. Практическое пособие, страница 22

Рост Х	Интервальное   среднее	Частота
150–155 155–160 160–165 165–170 170–175 175–180	152,5 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5	3 12 14 10 7 4	-10 -5 0 5 10 15	-2 -1 0 1 2 3	-6 -12 0 10 14 12

Получаем

Найдем выборочное среднее по формуле:

Таким образом, выборочное среднее данной выборки равно 164,3.

■

Заметим, что выборочное среднее несгруппированной  выборки   в общем виде отличается от выборочного среднего этой выборки, вычисленного после группировки. Однако, для большинства исследований это различие является несущественным.

Формулу для вычисления среднего вариационного ряда можно преобразовать следующим образом:

, где  , , …,  – относительные частоты соответствующих значений. Известно что, при неограниченном увеличении числа испытаний  относительная частота стремится к вероятности события:

,     ,   …,

.

Отсюда следует, что

.

Таким образом, при увеличении числа испытаний среднее    стремится к математическому ожиданию MX случайной величины Х, поэтому выборочное среднее    является статистическим аналогом математического ожидания и обладает основными свойствами математического ожидания. Главное же отличие состоит в том, что математическое ожидание исследуемой случайной величины является постоянной величиной, а среднее  является случайной величиной, так как его значение определяется случайной  выборкой. Разные выборки из одной и той же генеральной совокупности могут иметь разные средние.

Определение 2.5 Число  называется отклонением выборочного значения  x_i  от среднего  .

Пример 2.14 Администратор учреждения зафиксировал реальное время, затраченное на обеденный перерыв шестью сотрудниками: 55, 58, 62, 64, 65, 68.

Вычислим среднее:

.

Найдем отклонения от среднего:

Теперь найдем сумму всех отклонений:

.

■

В данном примере сумма всех отклонений от среднего равна 0. Такой результат справедлив и в самом общем случае.

Теорема 2.1 Сумма всех отклонений выборочных значений   x₁, x₂, …, x_n  от их среднего   равна 0.

Это свойство среднего подтверждает его центральную роль в совокупности выборочных данных. Равенство

показывает, что выборочные значения окружают среднее    как справа, так и слева.

Интересное свойство среднего связано с суммой квадратов отклонений выборочных значений:

Теорема 2.2 Если  x₁,  x₂,  …,  x_n – случайная выборка со средним  ,  то сумма квадратов разностей

принимает свое минимальное значение при  .

Например, запишем сумму квадратов разностей для выборки 55, 58, 62, 64, 65, 68 из предыдущего примера:

Ранее мы нашли среднее данной выборки  Из тео-ремы 2.2  следует, что эта сумма имеет минимальное значение при  .

Выборочная средняя находит более широкое применение, чем другие средние, в практических и теоретических исследованиях.     Среднее арифметическое обобщает все значения исследуемой выборки и часто используется в качестве единого представителя всей совокупности выборочных данных. Например, при многократных экспериментальных измерениях некоторой величины за истинное значение часто принимается выборочное среднее. Тем не менее, между средним и каждым индивидуальным выборочным значением существует определенное различие.

2.3 Геометрическое среднее и гармоническое среднее

Существуют определенные генеральные совокупности, для которых больше подходят другие виды средних. Рассмотрим понятия среднего геометрического и среднего гармонического.

Определение 2.6Средним геометрическим выборки  x₁,  x₂,  …, x_n  с положительными значениями называется число  ,  равное корню n-ой степени из произведения всех элементов выборки:

Пример 2.15 Рассмотрим данные о посещаемости студентами группы консультаций по высшей математике. На первой консультации присутствовало 3 студента, на второй – 6, на третьей – 12 студентов.

Итак, выборка состоит из трех значений:  3, 16, 12,  n = 3. Вычислим среднее геометрическое по формуле:

Для сравнения вычислим и среднее арифметическое: