Первичная обработка статистических данных. Практическое пособие, страница 28

Очевидно, что начальный выборочный момент  нулевого порядка всегда равен 1, а начальный выборочный момент первого порядка 

    Определение 2.19  Центральным моментом   k-го порядка выборки  x₁, x₂, …, x_n  называется среднее  k-тых степеней отклонений данных выборочных значений от среднего  ,  то есть

Из данного определения следует, что центральный выборочный момент   нулевого порядка равен 1. При  k = 1  получается, что

, а при  k= 2  имеем

.

Следовательно, выборочная дисперсия  является центральным выборочным моментом второго порядка. Для вычисления центрального выборочного момента третьего порядка используем стандартные алгебраические преобразования:

 

В результате получилось выражение центрального момента третьего порядка через начальные моменты. Таким же способом находятся выражения для центральных моментов более высоких порядков. Приведем ряд формул, которые на практике используются чаще других:

При вычислении начальных и центральных выборочных моментов используются приемы и таблицы, аналогичные тем, которые применялись ранее для вычисления среднего  и дисперсии  .

Пример 2.28   В ходе социологического исследования собраны ответы 25 рядовых сотрудников учреждения о количестве стрессовых ситуаций, возникавших на работе в течение недели. Данные опроса приведены в следующей таблице. Найдем начальные и центральные выборочные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Таблица 2.20  – Данные исследования стрессовых ситуаций

Количество стрессов	0             1               2              3               4               5
	1             2               8             10              2               2

Необходимые промежуточные расчеты будем фиксировать              в следующей таблице.

Таблица 2.21 – Вычисления начальных и центральных моментов

0 1 2 3 4 5	1 2 8 10 2 2	0 2 16 30 8 10	0 2 32 90 32 50	0 2 64 270 128 250	0 2 128 810 512 1250
	25	66	206	714	2702

Объем выборки  n = 25.  Вычислим начальные выборочные          моменты:

;            ;

    ;        .

Используя соответствующие формулы, вычислим центральные выборочные моменты:

;  ;

;

Округлим полученные значения центральных моментов:

;           ;             ;             

■

Начальные и центральные выборочные моменты являются аналогами соответствующих понятий теоретических моментов всей генеральной совокупности значений исследуемой случайной        величины.

Определение 2.20    Начальным моментом  k-го порядка случайной величины  Х  называется число  ,  равное математическому ожиданию  k-й  степени величины  Х:

.

Для вычисления начального момента  k-го порядка используются следующие формулы:

Говорят, что момент   существует, если он конечен, в противном случае считается, что момент не существует.

Определение 2.21  Центральным моментом  k-го  порядка случайной величины  Х  называется число  ,  равное математическому ожиданию величины

.

Для вычисления центрального момента  k–го порядка используются   формулы:

Заметим, что формулы, выражающие центральные моменты  через начальные, аналогичны соответствующим формулам для выборочных моментов. В частности, имеют место соотношения:

;

;

;

.

Очевидно, что математическое ожидание случайной величины является начальным моментом первого порядка, а дисперсия – центральным моментом второго порядка. Как теоретические, так и выборочные моменты используются при исследовании закона распределения случайной величины. Все центральные моменты четных порядков, как и дисперсия, характеризуют рассеяние значений случайной величины вокруг математического ожидания. Центральные моменты нечетных порядков выявляют асимметрию распределения относительно центра. В частности, если значения случайной величины распределены симметрично относительно математического ожидания, то все ее существующие моменты нечетных порядков равны нулю. С другой стороны, существование отличного от нуля центрального момента нечетного порядка показывает наличие асимметрии распределения.