Выборка и ее анализ. Точечные и интервальные оценки. Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности, страница 14

3) .

Таблица 3. Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями

	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	СРЗНАЧ	СРЗНАЧ
Дисперсия	ДИСП	ДИСП
Наблюдения	СЧЕТ	СЧЕТ
Объединенная дисперсия
Гипотетическая разность средних	Число, равное предполагаемой разности средних
df	Число степеней свободы
t-статистика	Наблюдаемое значение статистики t
P(T<=t) одностороннее	Если , то Если , то СТЬЮДРАСП(t; df;1)
t критическое одностороннее	Критическая точка распределения Стьюдента СТЬЮДРАСПОБР(2; df)
P(T<=t) двухстороннее	Если , то СТЬЮДРАСП(t; df;2)
t критическое двухстороннее	Критическая точка распределения Стьюдента СТЬЮДРАСПОБР(; df)

Проверка данной гипотезы осуществляется с помощью -статистики

,

распределение которой близко к распределению Стьюдента с числом степеней свободы, равным

,

округленным до целого числа. Здесь ,  – объемы выборок, , , ,  – выборочные средние и выборочные исправленные дисперсии соответственно. В случае равных объемов выборок ()

.

Вычисляется наблюдаемое значение  статистики.

При альтернативной гипотезе , , используя таблицы критических точек распределения Стьюдента, находится точка

,

Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; если , то нулевая гипотеза отвергается.

При альтернативной гипотезе  по таблице критических точек распределения Стьюдента находится точка

.

Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; если , то нулевая гипотеза отвергается.

При альтернативной гипотезе

–.

Если –, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; если –, то нулевая гипотеза отвергается.

Работа в Excel. Для проверки данной гипотезы используется статистический анализ Двухвыборочный t-тест с разными дисперсиями из Анализа данных меню Сервис (приложение 2). Результат анализа появится в виде таблицы. Формулы и соответствующие функции Excel, по которым выполняются расчеты в данном режиме, приводятся в таблице 4.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий нормальных выборок. Пусть  и  нормально распределенные случайные величины, ~ и ~. И пусть  – выборка значений случайной величины , а  – выборка значений случайной величины . Необходимо по данным выборкам проверить равенство дисперсий  и .

Выдвигается гипотеза:

: ,

причем ,  неизвестны.

Альтернативной  может быть одна из следующих гипотез:

1)  (если ), или  (если ),

2) .

Проверка гипотезы  осуществляется с помощью -статистики:

,

имеющей распределение Фишера с  и  степенями свободы. Здесь ,  – выборочные исправленные дисперсии, ,  – объемы выборок;  – число степеней большей исправленной дисперсии (= или =),  – число степеней меньшей исправленной дисперсии (= или =).

Таблица 4. Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями

	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	СРЗНАЧ	СРЗНАЧ
Дисперсия	ДИСП	ДИСП
Наблюдения	СЧЕТ	СЧЕТ
Гипотети-ческая разность средних	Число, равное предполагаемой разности средних
df	Число степеней свободы , округленное до целого числа В случае равных объемов выборок ()
t-статистика	Наблюдаемое значение статистики t
P(T<=t) одностороннее	Если , то Если , то СТЬЮДРАСП(t; df;1)
t критическое одностороннее	Критическая точка распределения Стьюдента СТЬЮДРАСПОБР(2; df)
P(T<=t) двухстороннее	Если , то СТЬЮДРАСП(t; df;2)
t критическое двухстороннее	Критическая точка распределения Стьюдента СТЬЮДРАСПОБР(; df)

Вычисляем наблюдаемое значение  статистики .