Выборка и ее анализ. Точечные и интервальные оценки. Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности, страница 13

Проверка нулевой гипотезы осуществляется с помощью -статистики

=,

имеющей стандартное нормальное распределение, ~; ,  – объемы выборок  и ; , , ,  – выборочные средние и известные дисперсии выборок  и  соответственно; . В качестве оценок дисперсий ,  в реальных ситуациях при больших объемах выборок  и  используются несмещенные выборочные дисперсии ,  [14].

Вычисляется наблюдаемое значение  данной статистики.

Для трех случаев альтернативной гипотезы  при заданном уровне значимости , имеют место следующие критические точки  и критические области статистики .

При альтернативной гипотезе , , используя таблицы функции Лапласа , =, находится  из равенства

.

Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; при  нулевая гипотеза отвергается.

При альтернативной гипотезе  точка  определяется по таблице функции Лапласа из равенства

.

Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, при  нулевая гипотеза отвергается.

При альтернативной гипотезе  точка  определяется по таблице функции Лапласа также из равенства

.

Если –, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, а при – нулевая гипотеза отвергается.

Работа в Excel. Для проверки данной гипотезы используется Двухвыборочный -тест для средних из пакета Анализ данных меню Сервис (приложение 2). Результат анализа появится в виде таблицы. Формулы и соответствующие функции Excel, по которым выполняются расчеты в данном режиме, приводятся в таблице 2.

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при неизвестных и равных дисперсиях (малые независимые выборки). Будем считать, что дисперсии  и  неизвестны и равны. Выдвигается гипотеза:

:.

Альтернативной  может быть одна и следующих гипотез:

1) , ,

2) ,

3) .

Проверка нулевой гипотезы осуществляется с помощью -статистики

,

имеющей распределение Стьюдента с  степенями свободы; ,  – объемы выборок  и ; ,  , ,  – выборочные средние и исправленные дисперсии соответственно.

Вычисляется наблюдаемое значение  статистики .

Таблица 2. Двухвыборочный -тест с одинаковыми дисперсиями

	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	СРЗНАЧ	СРЗНАЧ
Дисперсия	ДИСП	ДИСП
Наблюдения	СЧЕТ	СЧЕТ
Гипотетическая разность средних	Число, равное предполагаемой разности математических ожиданий .
	Наблюдаемое значение статистики =
одностороннее	Если , то   Если  , то 1-НОРМРАСП(;0;1;1)
критическое одностороннее	Модуль значений критических точек -статистики определяется из равенства НОРМСТОБР()
двухстороннее	Если , то 2*(1-НОРМРАСП(;0;1;1))
критическое двухстороннее	Модуль значений критических точек -статистики определяется из равенства НОРМСТОБР()

При альтернативной гипотезе , , используя таблицы критических точек распределения Стьюдента, находится точка

.

Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если , то нулевая гипотеза отвергается.

При альтернативной гипотезе  по таблице критических точек распределения Стьюдента находится точка

.

Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; если , то нулевая гипотеза отвергается.

При альтернативной гипотезе  

–.

Если –, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, а при – нулевая гипотеза отвергается.

Работа в Excel.Для проверки данной гипотезы используем статистический анализ Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями из Анализа данных меню Сервис (приложение 2).

В выбранном выходном диапазоне появится результат анализа в виде таблицы. В таблице 3 приводятся формулы из [4] и соответствующие функции Excel, по которым рассчитываются соответствующие значения.

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при неизвестных и неравных дисперсиях.Будем считать, что дисперсии  и  неизвестны и неравны. Выдвигается гипотеза:

:.

Альтернативной  может быть одна и следующих гипотез:

1) , ,

2) ,