Электротехника \ Теоретические основы электротехники

Основы теории цепей постоянного и переменного токов: Учебное пособие для самостоятельной работы студентов, страница 33

В данном случае токи параллельных ветвей и не находятся в противофазе, а потому не могут компенсировать друг друга. Резонанс токов здесь обусловливается равенством между емкостным током и реактивной составляющей тока . В результате также выполняется основное условие наличия резонанса – совпадение по фазе входного тока схемы I₀ и приложенного напряжения U.

Числовые параметры схемы выбраны так, что из равенства следует, что цепь не является высокодобротной.

4.3.2. Резонанс в цепях с произвольным количеством

реактивных элементов

С возрастанием числа индуктивных и емкостных элементов в схемах резко увеличивается объем математических преобразований и вычислений, поэтому в качестве объекта для изучения возьмем схему с тремя реактивными элементами, изображенную на рис.4.12.

Рис.4.12. Схема с тремя реактивными элементами

Исследование явления резонанса в цепях, содержащих три и более реактивных элемента, имеет ту же основу, т.е. при резонансе входное сопротивление (проводимость) цепи становится чисто активным. Задача чаще всего сводится к определению резонансных частот и построению, если в том есть необходимость, частотных зависимостей реактивных сопротивлений (проводимостей) от частоты.

Входное комплексное сопротивление имеет вид:

. (4.23)

После разделения действительной и мнимой частей Z приходим к выражению:

.(4.24)

Далее используется только мнимая часть. Приравнивая ее к нулю и подставляя , получаем уравнение

, (4.25)

корни которого определяют резонансные частоты.

Положительный ответ на вопрос о возможности возникновения того или иного резонанса как уже указывалось, дают только положительные действительные корни уравнения (4.25). Любые другие типы корней (отрицательные действительные, комплексные или мнимые) указывают на отсутствие резонанса в рассматриваемой схеме.

Например, при численных значениях параметров схемы (рис.4.12) – r₁ = 23 Ом, L₁ = 0,274 Гн, r₂ = 35 Ом, L₂ = 0,340 Гн, C = 20 мкФ - уравнение (4.25) приобретает вид:

Его корни имеют следующие значения:

; .

Из полученных корней два действительные, положительные, следовательно, можно сделать вывод о том, что в схеме наблюдаются резонансы при двух значениях частот:

и .

Чтобы ответить на вопрос о типе того или иного резонанса, необходимо дополнительно провести расчет режимов схемы при полученных резонансных частотах. На рис.4.13 и 4.14 представлены результаты расчета токов и векторные диаграммы, построенные в одном масштабе для схемы рис.4.12 при входном напряжении U = 2В на частотах и .

При численных значениях параметров схемы рис.4.12 – r₁ = 23 Ом, L₁ = 0,274 Гн, r₂ = 35 Ом, L₂ = 0,340 Гн, C = 1000 мкФ - уравнение (4.25) приобретает вид:

и его корни:

, .

что говорит о наличии одной резонансной частоты.

Удобство использования комплексного сопротивления или проводимости определяется топологией схемы, а решение уравнений x = 0 или b = 0 приводит к одинаковым результатам.

Результаты расчета:

; ; ; ; .

Резонанс токов при частоте с^-1 обусловлен токами параллельных ветвей I₂ и I₃. Но, как и ранее, эти токи не находятся в противофазе, поэтому полностью компенсируются реактивные составляющие этих токов и , которые относительно входного напряжения U сдвинуты на 90⁰. Составляющая отстает от U на 90⁰, а – опережает, поскольку первая обусловлена индуктивностью, а вторая – емкостью.