Основы теории цепей постоянного и переменного токов: Учебное пособие для самостоятельной работы студентов, страница 20

Схема с параллельным соединением элементов (рис.3.12, а) требует привлечения понятий комплексных проводимостей.

Уравнение для мгновенных значений записывается по первому закону Кирхгофа:

.

или

,                                       (3.48)

где  .

Рис.3.12. Электрическая цепь с параллельным соединением r, L и С

Уравнение в комплексной форме:

.                                    (3.49)

Векторная диаграмма токов показана на рис. 3.12, б.

Этапы преобразования полученного уравнения:

;

;

;

;

.                                                    (3.50)

Здесь появились новые величины:

 – индуктивная проводимость;

 – емкостная проводимость;

 – индуктивная проводимость в комплексной форме;

 – емкостная проводимость в комплексной форме;

 – реактивная проводимость;

   -  комплексная проводимость;

 – полная проводимость как модуль комплексной проводимости.

Любая комплексная проводимость выступает как величина обратная комплексному сопротивлению. Для отдельных элементов:

;                                                 (3.51)

В общем случае:

;                                                           (3.52)

Формулы (3.52) бывают полезны в тех случаях, когда требуется преобразовать последовательные схемы в параллельные и наоборот. Предположим, что требуется схему рис.3.13,а  преобразовать в схему рис.3.13,б.

Рис.3.13. Преобразование схем:

а – с последовательным соединением; б – с параллельным соединением

Комплексное сопротивление первой схемы записывается в форме

.

Комплексная проводимость записывается как величина, обратная Z:

Умножая числитель и знаменатель дроби на комплекс, сопряжённый знаменателю, получаем

В итоге значения проводимостей схемы рис.3.13,б равны:

;      

Реализацию обратного перехода можно осуществить путем преобразования общей комплексной проводимости схемы рис.3.13,б в комплексное сопротивление согласно формулам:

;

откуда

;           ;          .

3.6. Особенности применения комплексного метода для исследования

 разветвленных электрических цепей

Положительной стороной комплексного метода является то обстоятельство, что операции с комплексными напряжениями, токами, сопротивлениями и проводимостями осуществляются по тем же основным правилам, что и в случае цепей постоянного тока.

Законы Кирхгофа для цепей постоянного тока формируются алгебраическим суммированием составляющих – токов при формировании уравнений по первому закону Кирхгофа, а также ЭДС и падений напряжений при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа.

В случае цепей переменного тока алгебраическое суммирование в действительной области применимо только для мгновенных значений, как это сделано при составлении уравнений (3.17), (3.44), (3.48). Действующие и амплитудные значения напряжений и токов суммируются только геометрически, на что указывают все приведенные ранее векторные диаграммы.

В комплексной форме алгебраические операции можно производить практически со всеми, встречающимися при расчете электрических цепей величинами: комплексными амплитудами, комплексными действующими значениями, комплексными сопротивлениями и проводимостями. Нужно лишь правильно применять правила действий с комплексными числами.

Рассмотрим схему, изображённую на рисунке 3.14,а.

Рис.3.14. Расчетная схема:

а – заданная; б - упрощенная

Параметры элементов схемы заданы. Задано также входное напряжение 

Ставится задача определить токи ветвей. Расчет проводится по комплексным действующим значениям.

Сначала необходимо определить входное комплексное сопротивление  . Это можно сделать по исходной схеме рис.3.14,а. Но если есть затруднения, то можно перейти к упрощенной схеме, изображенной на рис.3.14,б, введя обозначения

;

;

.

Получили в итоге последовательно-параллельное соединение трех комплексных сопротивлений, для которого

                                                                                    (3.53)

 – полное (входное) сопротивление схемы;