Электротехника \ Теоретические основы электротехники

Основы теории цепей постоянного и переменного токов: Учебное пособие для самостоятельной работы студентов, страница 10

; ; . (2.8)

Чередование индексов в правых частях формул позволяет легко установить закономерность в их формировании.

2.6.2. Преобразование параллельного соединения ветвей

с источниками ЭДС

Упрощение задачи по исследованию электрической цепи достигается заменой участка с параллельно соединенными ветвями одной ветвью с эквивалентными параметрами. Пусть, например, требуется участок с тремя параллельными ветвями (рис.2.12,а) заменить одной ветвью с двумя элементами R_Э и Е_Э (рис.2.12,б). Задача сводится к нахождению числовых значений эквивалентной ЭДС и эквивалентного сопротивления R_Э.

Рис. 2.12. Преобразование параллельных ветвей:

а – исходная расчетная схема; б – двухэлементная эквивалентная схема.

Применяем метод узловых потенциалов. Нижний узел левой схемы принимается базисным ( = 0). Потенциал верхнего узла подлежит определению.

Обе схемы будут эквивалентными при равенстве потенциалов .

Единственное уравнение по методу узловых потенциалов в данном случае имеет вид:

откуда

или в общей форме записи

, (2.9)

где .

Аналогичное уравнение можно записать и для потенциала эквивалентной схемы:

, ,

откуда

. (2.10)

В силу условия эквивалентности в конечном итоге получаем соотношения для преобразования:

; ; . (2.11)

Эквивалентная проводимость G_Э является суммой проводимостей ветвей. Применительно к схеме рис. 2.12,а это есть величина

Произведение G_kE_k в числителе формулы (2.11) имеет знак плюс, если направление ЭДС ветви совпадает с выбранным направлением эквивалентной ЭДС Е_Э:

Формулы (2.11) применяются при любом числе параллельных ветвей.

2.7. Примеры расчета электрических цепей постоянного тока

2.7.1. Применение законов Кирхгофа

Условие задачи. Составить уравнения по законам Кирхгофа для определения токов ветвей в схеме, приведенной на рис.2.13.

Дано: Е₁, Е₂, Е₃, J, R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆.

Рис. 2.13. Схема, демонстрирующая применение законов Кирхгофа

Решение.

В схеме (см. рис.2.13) семь ветвей, четыре узла и четыре независимых контура. Ток I₇ известен (I₇ = J), поэтому неизвестных токов в схеме шесть. Для расчета токов данным методом необходимо составить систему из шести уравнений, в которой три уравнения должны быть записаны по первому закону Кирхгофа и три – по второму. Выбираем независимые контуры так, чтобы ветвь с источником тока не вошла ни в один из контуров.

Выбираем произвольно направления токов в ветвях и направления обхода контуров (например, по часовой стрелке). Записываем систему из шести уравнений, совместное решение которых дает искомые токи:

узел 1: ;

узел 2: ;

узел 3: ;

контур I: ;

контур II: ;

контур III: .

Ток источника тока, как следует из приведенных соотношений, входит только в уравнения по первому закону Кирхгофа.

2.7.2. Метод контурных токов

Условие задачи. Определить токи ветвей в схеме, приведенной на рис.2.14.

Дано: Е₁ = 10 В, Е₂ = 5 В, Е₃ = 4 В, J = 2 А, R₁ = 5 Ом,

R₂ = 5 Ом, R₃ = 1 Ом, R₄ = 4 Ом, R₅ = 2 Ом, R₆ = 3 Ом.

Рис. 2.14. Схема для применения метода контурных токов

Решение.

Выбираем независимые контуры так, чтобы ветвь с источником тока не оказалась общей для контуров. Выбираем произвольно направления четырех контурных токов, причем один из них известен: I₄₄ = J.

В общем виде составляем систему уравнений относительно трех неизвестных контурных токов: