Электротехника \ Теоретические основы электротехники

Основы теории цепей постоянного и переменного токов: Учебное пособие для самостоятельной работы студентов, страница 32

, (4.17)

решение которого

(4.18)

Резонансная частота – реальный физический параметр. Поэтому положительный ответ о наличии резонанса напряжений дает только положительное, действительное значение корня. Следовательно, окончательно используем значение

, (4.19)

которое указывает, что резонанс в исследуемой схеме возможен при выполнении условия . Если это условие не выполняется, то числитель подкоренного выражения будет отрицательным, а корень, соответственно, мнимым.

Рассмотрим схему рис.4.6,б при числовых значениях параметров: r = 100 Ом, L = 0,01 Гн, Ф. Расчетная схема представлена на рис.4.7.

Рис.4.7. Расчетная схема

Резонансная частота определяется по формуле (4.19)

Получили действительное положительное значение, следовательно, при данной частоте и заданных параметрах r, L, C в схеме имеет место резонанс напряжений. Чтобы разобраться в его особенностях, необходимо провести расчет токов и построить векторную диаграмму.

Входное сопротивление при резонансной частоте согласно (4.15) равно:

Ом.

Резонансные значения токов:

А;

;

Падения напряжений:

;

По полученным данным на рис.4.8 построена векторная диаграмма, характеризующая резонансный режим в схеме рис.4.7.

Рис.4.8. Диаграммы напряжений и токов при резонансе

Особенности приведенной векторной диаграммы сводится к следующему.

Напряжение U и ток I_L₀ совпадают по фазе.

Реактивные напряжения U_L₀ и U_C₀ в отличие от схем рис.3.11,а и рис.4.6,а не находятся в противофазе, т.е. сдвинуты одно относительно другого на угол, не равный 180⁰. Поэтому полная компенсация этих напряжений невозможна. В противофазе находятся напряжение U_L₀ и составляющая U′_C₀ напряжения U_C₀. Кроме того, имеет место равенство между U_L₀ и U′_C₀. В результате можно сказать, что условие резонанса напряжений в данной схеме обеспечивается напряжениями U_L₀ и U′_C₀.

Наконец, можно отметить, что рассматриваемая векторная диаграмма соответствует схеме с достаточно высокой добротностью:

т.е. напряжения на реактивных элемента L и C примерно в 10 раз превышают приложенное напряжение.

В схемах рис.4.9 индуктивность и емкость находятся в параллельных ветвях, поэтому, как уже показано для схемы рис.4.7,а, в этих схемах возможен резонанс токов.

Обратимся к схеме рис.4.9,б и, учитывая ее структуру, запишем выражение для комплексной проводимости:

. (4.20)

Рис. 4.9. Схемы, в которых возможен резонанс токов

Разделяя действительную и мнимую части (4.20) в конечном итоге приходим к уравнению

, (4.21)

корень которого

(4.22)

указывает на возможность резонанса токов при выполнении условия .

Можно было бы убедиться, что использование в качестве исходного выражения формулы для комплексного сопротивления

приводит к тому же уравнению (4.21) относительно резонансной частоты и к тому же значению корня этого уравнения (4.22). Но преобразования при этом более сложные, поэтому в схемах с параллельными ветвями предпочтение отдается комплексной проводимости.

Для выявления особенностей исследования резонанса токов в схеме рис.4.9,б снова обратимся к числовым значениям параметров: r = 50 Ом, L = 0,05 Гн, Ф, U = 100В. Расчетная схема изображена на рис.4.10. Расчет приводится в комплексной форме.