Поскольку сложению многочленов соответствует сложение по mod 2 их комбинаций, а комбинации, представляемые многочленами g(X), Xg(X)…Xk-1g(X), являющиеся комбинациями циклического кода, то можно заключить, что соответствующие 2k-1 многочлены рассматриваемого множества принадлежат циклическому коду, ибо сумма по модулю два любых двух комбинаций линейного кода дает комбинацию этого же кода, а наш код является циклическим.
Выясним, какому условию должен удовлетворять многочлен g(x). Выберем произвольную комбинацию (an-1, …, a1, a0) из 2k-1 комбинаций циклического кода и учитывая вторую из выше указанных особенностей, обозначим соответствующий ей многочлен через f(X)g(X)= an-1Xn-1+ …+a1X+ a0. Выполним циклический сдвиг выбранной комбинации. В результате получим комбинацию ( an-2 … a0 an-1) обозначим ее через V. Ей соответствует многочлен
V(X)= ( an-2 Xn-1+… +a0X + an-1)
Циклический сдвиг комбинации на один символ влево соответствует умножению представляющего его многочлена на X.
Умножим f(X)g(X) на X, получим
Xf(X)g(X)= an-1Xn+ an-2Xn-1+ …+a1X2+ a0X
Прибавим к левой и правой части этого равенства двучлен an-1Xn+ an-1, получим:
Xf(X)g(X)+ an-1 (Xn+1) = an-2Xn-1+ …+a1X2+ a0X+ an-1
Xf(X)g(X)+ an-1 (Xn+1) = V(X)
Комбинация ( an-2 … a0 an-1) будет являться комбинацией циклического кода только в том случае, если V(X) делится на g(X) без остатка, чтобы многочлен V(X), представляющий собой сумму двух многочленов, из которых один делится на g(X) необходимо, чтобы и второй многочлен делился на g(X) без остатка. Отсюда следует, что комбинации линейного кода обладают свойством цикличности только тогда, когда g(X) является делителем двучлена Xn+1. При выполнении указанного требования g(X) может быть только многочленом вида:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.