Понятие системы связи, сети связи, страница 50

Заметим, что количество комбинаций синдрома 2r всегда меньше, чем число векторов ошибок 2n, т.к. r<n. С другой стороны, как видно из формулы (11) вид комбинации синдрома определяется вектором ошибок. Это означает, что соответствие между вектором ошибок и комбинациями синдрома однозначно, но не взаимнооднозначно, т.е. несколько векторов ошибок порождают одну и ту же комбинацию синдрома. Эта ситуация характеризуется следующим графом:

 


Выясним сколько различных векторов ошибок порождают одну и ту же комбинацию синдрома. Для этого найдем комбинацию синдрома, порожденную вектором ошибок e, который можно рассматривать как сумму по модулю 2 одной из ненулевых последовательностей g = (g1…gn), не совпадающей ни с одной из комбинаций кода и с 1 из комбинаций линейного кода

Рассмотрим вектор ошибок, равный    .

Вектор ошибок е не является комбинацией линейного кода, т.к. сумма 2-х последовательностей длины n дает комбинацию линейного кода только тогда, когда обе последовательности принадлежат линейному коду, что противоречит выбору g.

Найдем синдром вектора ошибок e.

    (12)

т.е. синдром вектора ошибок e определяется только последовательностью g, не являющейся комбинацией кода.

Поскольку комбинаций линейного кода 2k, то может быть получено ровно 2k векторов е, дающих одну и ту же комбинацию синдрома, следовательно, ровно 2k векторов ошибок порождают одну  ту же комбинацию синдрома.

Очевидно, что число групп, каждая из которых состоит из 2k векторов ошибок столько, сколько комбинаций синдрома, т.е. 2r. Во все эти группы входят все вектора ошибок, т.к. в каждую группу входит 2k: