Понятие системы связи, сети связи, страница 44

Нетрудно убедиться, что у этого кода d = 2.

При выборе других значений коэффициентов С_ji был бы получен другой код с тем же или другим d.

Поскольку различных наборов коэффициентов С_ji 2^kr, следовательно, может быть построено 2^kr различных линейных (n, k) – кодов.

Обычно стремятся выбрать С_ji так, чтобы линейный код имел максимально возможное d = d_max при заданных n и k.

Значение d_max в линейном (n, k) – коде для многих n и k найдено, например, найдено, что линейный (7, 4) – код имеет d_max = 3.

Однако для любых n и k точного решения задачи еще не получено, но найдены границы верхняя и нижняя, между которыми лежит d_max. Оценивая различные линейные коды по критерию верности передачи, Девид Слепян нашел, что линейный (7, 4) – код будет оптимальным по d и для ДСК, если коэффициенты  С_ji его равны:

то есть если его проверочные символы находятся по следующим правилам:

,

,

Линейные коды обладают одним интересным свойством: сумма по модулю два любых двух комбинаций кода снова дает комбинацию этого кода. Это свойство будет доказано при использовании ТИ.

Сложим по модулю два комбинации линейного кода V₁ и V₂. В полученной комбинации V₃ единицы стоят только на тех позициях, на которых в V₁ и V₂ стоят различающиеся символы, следовательно, вес комбинации V₃ равен расстоянию между V₁ и V₂, то есть