Математическая модель пространственного движения жёсткого ЛА с переменной массой без учёта колебаний жидкого наполнения

Балтийский Государственный Технический Университет «Военмех»

Лекции по механике полёта.

       Выполнили: Архипова И. А.

                               Захаров А. В.

       Группа И321

                                                                   Преподаватель: Санников В.А.

Санкт-Петербург

2005г

Используемые сокращения:

ЛА – летательный аппарат

ПФ – передаточная функция

c.к. – система координат ц.м. – центр масс т.к. – так как т.д. – так далее т.е. – то есть

08.02.05 *

Введение.

Летательный аппарат (ЛА) может рассматриваться как некоторая динамическая система. При проектировании возникает задача оценки качества этой системы, которое может производиться экспериментальными или теоретическими методами исследования. В случае теоретических методов необходимо составить математическую модель управляемого движения ЛА. Математическая модель - это совокупность уравнений, позволяющая определить параметры движения при заданных начальных условиях и определённых управляющих и возмущающих воздействиях.

Процесс создания математической модели (процесс алгоритмизации) можно представить состоящим из следующих этапов:

1. Математическое описание движения управляемого ЛА.

2. Математическая формулировка целей управления (критериев оптимальности).

3. Количественная характеристика взаимодействия ЛА с окружающей средой (силы и моменты, действующие на ЛА в полёте).

4. Математическое описание алгоритма управления (закон управления).

5. Математическое описание схемы технической реализации алгоритма управления.

Наиболее общей формой математической модели является система нелинейных дифференциальных уравнений, содержащая в своей структуре случайные факторы. На определенных стадиях проектирования могут использоваться математические модели детерминированные (не содержащие случайных факторов). И при этом в зависимости от характера исследуемой задачи могут учитываться упругость конструкции ЛА, колебание жидкого наполнения, наличие подвижных масс («маховиков») внутри ЛА. Определенная специфика при составлении математической модели должна учитываться при движении ЛА в воде.

Глава 1.

Математическая модель пространственного движения жёсткого ЛА с переменной массой без учёта колебаний жидкого наполнения.

Полная система уравнений, из которых состоит эта модель, включает:

1. Динамические уравнения движения пространственного движения ЛА.

2. Кинематические соотношения, связывающие линейные или угловые скорости ЛА с линейными или угловыми координатами.

3. Уравнения, описывающие изменение массы и моментов инерции ЛА.

4. Геометрические и вспомогательные соотношения (уравнения связи между различными системами координат, соотношения между углами, определяющими ориентацию ЛА в различных системах координат, явные выражения для сил, моментов и т.д.).

Будем рассматривать случай движения ЛА в воздухе вблизи поверхности земли. Для рассмотрения этого движения используются различные системы координат, чаще всего декартовые (то есть прямоугольные).

Системы координат. Геометрические и кинематические соотношения.

Все системы координат декартовые и правые:

1. Стартовая с.к. (земная)

2. Связанная с.к.

3. Скоростная с.к. Oxyz

4. Полусвязанная с.к.

5. Полускоростная с.к.

- точка старта, расположена на поверхности земли

O – центр масс ЛА

1. Стартовая с.к. принимается инерциальной, связанной с неподвижной землёй. Ось направлена по направлению стрельбы, ; - плоскость стрельбы, - горизонтальная плоскость.

2. Связанная с.к. неизменно связана с ЛА как с твёрдым телом. Движение этой системы в пространстве воспроизводит пространственное движение ЛА. Если рассматривать ЛА как недеформируемое твёрдое тело, то в пространственном движении он имеет 6 степеней свободы, из которых 3 степени свободы определяют вращательное движение относительно центра масс, 3 степени свободы – движение центра масс.

Во вращательном движении имеет 3 степени свободы.

 - совпадает с осью ЛА и направлена от ц.м. к носику. Если ЛА представляет летающее крыло, то направлена по хорде крыла.

 и лежит в плоскости симметрии

 - плоскость симметрии, если ЛА выполнен по самолётной схеме;  лежит в некоторой фиксированной относительно ЛА плоскости, если ЛА представляет собой баллистическую ракету.

 и даёт правую систему.

3. Скоростная с.к. oxyz. Во вращательном движении относительно ц.м. также, как и связанная, имеет 3 степени свободы.

х совпадает с  (вектором скорости ц.м.)

и лежит в плоскости симметрии ()

4-ая и 5-ая с.к. во вращательном движении имеют 2 степени свободы.

4. Полусвязанная с.к.

 совпадает с осью ЛА

 и лежит в вертикальной плоскости, проходящей через ось (ось ЛА)

5. Полускоростная с.к.

 совпадает с осью х ()

 и лежит в вертикальной плоскости, проходящей через вектор скорости ц.м.

1. Взаимное расположение стартовой, связанной и полусвязанной с.к. при совмещённых началах.

Совместим точку старта с ц.м.

Оx₀y₀z₀

Ox₁y₁z₁

Ox₂y₂z₂

Точка О – ц.м. ЛА