Математическая модель пространственного движения жёсткого ЛА с переменной массой без учёта колебаний жидкого наполнения, страница 18

А в этой области частот оказываются частоты колебаний жидкого топлива в баках и низкие собственные частоты упругих колебаний корпуса. В результате система управления реагирует не только на угловые колебания корпуса как твёрдого тела, но и на угловые упругие деформации. Таким образом, возникают дополнительные обратные связи, и колебания в системе стабилизации оказываются взаимосвязанными с другими колебаниями. Возникают дополнительные колебания органов управления, благодаря реакции на упругие колебания. Эти отклонения, в свою очередь, вызывают упругие колебания и могут повлиять на устойчивость замкнутой системы стабилизации.

Если частота среза системы стабилизации, и частота упругих колебаний близки друг к другу, то может возникнуть явление резонанса, кроме того, упругие колебания ЛА приводят к дополнительным аэродинамическим нагрузкам (из-за появления местных углов атаки), которые в свою очередь вызывают дополнительные упругие деформации. Это называется явлением Флаттера.

Мы будем рассматривать учёт упругих поперечных колебаний корпуса. Имеется рекомендация: этот учёт нужно производить, если длина калибра ;

Уравнения упругих поперечных колебаний корпуса. Построение решения этого уравнения.

Для изучения поперечных колебаний, корпус ЛА обычно заменяют прямым неоднородным упругим стержнем с незакреплёнными концами (в полёте). При составлении уравнений поперечных колебаний корпуса ЛА, следует учитывать силы внутреннего неупругого сопротивления конструкции и продольные усиления, вызванные тягой двигателя, силой тяжести и движением топлива. Однако, для упрощения задачи, часто принимают допущение, что внутреннее конструкционное демпфирование отсутствует и не учитывает влияние продольных усилий. Тогда дифференциальное уравнение упругих поперечных колебаний корпуса записываются так (смотри рисунок):

l - длина;

у - отклонение;

На ЛА действует погонная нагрузка q(x,t).

                                      (1)

Х - координата точки на продольной оси ЛА;

y(x,t) - смещение точки с координатой Х в направлении, перпендикулярном недеформированной оси балки;

Е - модуль упругости (Юнга), характеристические свойства материала;

J(x) - момент инерции площади поперечного сечения балки относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний;

EJ(x) - изгибная жёсткость в сечении с координатой х;

m(x) - погонная масса(масса единицы длины);

q(x,t) - погонная внешняя нагрузка, действующая перпендикулярно оси балки;

Значения y(x,t) будут зависеть от начальных значений координат и скоростей точек продольной оси балки от граничных условий на концах балки: y(x,0)

(x,0)

Для корпуса ЛА, оба конца которого свободны, эти граничные условия будут выражать факт равенства нулю перерезывающей силы и изгибающего момента на концах балки. Таким образом, для определения смещения у, надо решить уравнение (1) при граничных условиях (2) и (3), и начальных условиях (*):

                                         (2)

                        (3)

Начальные условия:    

y(x,0)=                    (*)

(x,0)=

Решения уравнения (1), при условиях (2),(3),(*), можно представить в виде суммы (4):

y(x,t)=                                       (4) , где

 - функция, выражающая свободное поперечное колебание;

- функция, выражающая вынужденное поперечное колебание;

Функция  определяется как решение соответствующего однородного уравнения (q(x,t)=0), удовлетворяющего граничным условиям (2) и (3), и начальным условиям (*).

Функция  определяется как решение данного неоднородного уравнения (1), удовлетворяющего граничным условиям (2) и (3), и нулевым начальным условиям.

При таком выборе , , их сумма будет искомым общим решением уравнения (1).

Определение свободных колебаний.

;                                  (5)

Надо решить соответствующее однородное уравнение. Общее решение этого уравнения (5) находим, используя метод Фурье, где

;                                                                        (6)