Математическая модель пространственного движения жёсткого ЛА с переменной массой без учёта колебаний жидкого наполнения, страница 24

 
Преобразуем формулы (8) и (9). Введём следующие обозначения:

обозначим вектор     -  импульсивная сила;

 - импульсивная пара;

Тогда формулы (8), (9) можно переписать так:

                  

Нас интересует момент гидродинамический не относительно неподвижной точки , а относительно центра тяжести через  и, он определяется по формуле (10):

                           (10)

Подставляя в формулы  и  значения  и  после ряда преобразований, окончательно получим следующие выражения для гидродинамических реакций   и :

26.04.05 *

                                                                                           (11)

                                                                        (12)

                                                                    (13)

 - коэффициенты присоединённых масс

Т.о. определение гидродинамических реакций сводится к определению коэффициентов присоединённых масс.

Векторные уравнения движения тела в воде.

Обозначим:

 - вектор количества движения тела

 - момент количества движения тела (кинетический момент относительно )

 - главный вектор внешних сил, действующих на тело помимо гидродинамических реакций

 - главный момент внешних сил помимо гидродинамических моментов

Тогда по теоремам механики можно записать:

Подставляем в эти уравнения значения  и  из (8) и (9):

Сравним эти уравнения с теми, которые получатся, если тело движется в пустоте. Если тело движется в пустоте, то гидродинамические реакции отсутствуют:

Движение тела в жидкости происходит так, будто к главному вектору количества движения  присоединилось добавочное количество движения , а к главному моменту количества движения присоединился добавочный момент количества движения . Поэтому векторы  и получили название присоединённых количества движения и момента количества движения. Они выражаются через коэффициенты присоединённых масс.

Коэффициенты присоединённых масс.

Всего их 36. Эти коэффициенты определяются формулой (13) и зависят только от формы тела и выбора с.к.. Однако, как доказывается в теории, матрица этих коэффициентов симметрична: . Т.о. для произвольной формы тела разных коэффициентов будет 21. Для симметричных тел с определённой степенью симметрии часть из 21 коэффициента обращается в нуль. Так, например, если тело имеет одну плоскость симметрии (), то отличны от нуля 12 коэффициентов, а остальные 9 равны нулю.

плоскость симметрии

Равны нулю	Отличны от нуля

Если 2 плоскости симметрии, то отличны от нуля 8 коэффициентов, а остальные 13 равны нулю. Если тело имеет 3 плоскости симметрии, то отличны от нуля 6 коэффициентов: , а остальные равны нулю.

Если тело вращения и  - ось вращения, то коэффициент =0, т.к. вращательное движение этого тела относительно оси  не вызывает возмущения жидкости. Можно сказать, что для тела вращения (например, баллистической ракеты) отличны от нуля следующие 7 коэффициентов: , при этом , , . Т.о. в этом случае для тела вращения с осью  достаточно определить только 4 разных коэффициента присоединённых масс.

Теоретические формулы определены для ограниченного класса тел. Характерный пример – эллипсоид. Для эллипсоида с осями  они приведены в учебном пособии В.А. Санников, А.С. Шалыгин «Математические модели динамики полёта ЛА».

Для шара ,  - объём шара, а остальные коэффициенты равны нулю.

Для цилиндра, который двигается в направлении своей оси .

Для тел более сложной формы результаты не получены.

Для тел произвольной формы советскими учёными И.С. Риманом и Р.А. Крепс разработан метод колебаний.

Выражение для проекций гидродинамических сил и моментов на оси связанной с.к. Ox₁y₁z₁ в случае пространственного движения баллистической ракеты в воде.

: 

          

Для проекций гидродинамического момента: