Математическая модель пространственного движения жёсткого ЛА с переменной массой без учёта колебаний жидкого наполнения, страница 16

                                                                                                                      (3)

Или в матричной форме:

                                                                                                                        (3')

Система (3) (или (3') )  является линейной системой относительно отклонений . Она называется системой уравнений в отклонениях или в вариациях. Коэффициенты этой системы , элементы матрицы А, зависят от параметров невозмущённого движения. Если все параметры невозмущённого движения являются постоянными (балансировочный режим), то  и система (3) будет системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Вывод: т.о. вместо исходной нелинейной системы (1) относительно фазовых координат  мы получили линейную систему (3) относительно отклонений (вариаций) этих координат от их значений в некотором программном невозмущённом движении.

Следует отметить, что метод линеаризации не имеет строгого теоретического обоснования. Его справедливость в каждом конкретном случае должна подтверждаться сравнением решений исходной и линеаризованной системы.

Проведём линеаризацию уравнений пространственного движения I. Пусть невозмущённое движение представляет из себя некоторый заданный полёт в пространстве. Параметры этого движения являются известными функциями времени.

Предположим, что параметры невозмущённого движения в боковом движении

[] являются малыми величинами. Т.о. выполняется условие разделения пространственной системы на продольное и боковое движения. Это предположение принимается для упрощения итоговой системы в вариациях и не является принципиальным. Будем считать, что

 в возмущённом движении будут такими же, как в невозмущённом. Кроме того, не будем учитывать влияние высоты на тягу R и аэродинамические силы и моменты, т.к. оно не значительно.

Рассмотрим линеаризацию на примере уравнений продольного движения. Подробно рассмотрим линеаризацию первого уравнения системы (II). Запишем в нормальной форме Коши:

 - функция параметров движения ЛА

  после скобок означает, что все параметры внутри скобок со

Опуская индекс * и учитывая другие сокращения, понятные из предыдущего изложения, можем записать следующее уравнение в вариациях:

 - возмущающая сила, действие которой не учитывалось в невозмущённом движении.

Проведём линеаризацию уравнения:

Аналогично производится линеаризация остальных уравнений системы (II).

Запишем уравнение продольного движения в вариациях. При этом пронумеруем переменные, входящие в систему (II):

0	1	2	3	4	5	6

Каждому уравнению в вариациях присвоим соответствующий номер. Например, уравнению, описывающему , присвоим 0; уравнению, описывающему  - 1 и т. д. Обозначим эти коэффициенты буквой а.

,   , тогда система запишется следующим образом:

Система IV.

 - динамические коэффициенты.

01.04.05

Они выражаются через аэродинамические и инерционные характеристики ЛА следующим образом:

 1/c;    м/;     м/;  

  м/;      1/кг;       1/м;

  1/с;     ;       1/м;

  1/с;        1/с;          1/с;

   с/кг*м;               м/с;

C_x = C_x(M, α, δ_в);

C_y = C_y(M, α, δ_в);

Уравнения бокового движения в вариациях.

В качестве программного (невозмущённого) режима при записи этих уравнений примем так называемый балансировочный режим. Это прямолинейный установившейся полёт на постоянной высоте. Покажем схему полёта в этом режиме:

Это установившейся полёт:

()

;

Вводя аналогично предыдущему динамические коэффициенты  для движения рысканья и динамические коэффициенты для движения крена, мы можем записать уравнения бокового движения в вариациях при этих всех уравнениях.

;

;

;

;                                                                                            (V)

;

;

;

;