Гармонические колебания. Характеристики и формы представления. Сложение однонаправленных колебаний. Векторные диаграммы. Гармонические осцилляторы. Уравнение состояния идеального газа, страница 14

Если силовое поле, в котором движется описываемая частица, стационарно, то потенциал его не зависит явно от времени, а функция  имеет смысл потенциальной энергии и зависит только от координат . В этом случае волновую функцию можно представить как произведение двух. Одна функция зависит только от ,  другая – только от времени :

Подставим последнее выражение в уравнение Шрёдингера    

.

После сокращения на временной множитель   и некоторых элементарных преобразований получим:   (*).

Это уравнение Шрёдингера для стационарных состояний. В него входит только координатная часть волновой ф-ции –. Если последняя будет найдена, то полная волновая ф-ция находится домножением координатной части на временной множитель .

Поскольку вероятность определяется квадратом волновой ф-ции, а квадрат комплексной величины находится умножением на комплексно сопряженную, то имеет место следующее соотношение для стационарных волновых функций:

.

Таким образом, чтобы найти волновую ф-цию для стационарных состояний, необходимо решить уравнение (*) и знать полную энергию .

Свободное движение частиц.

Во время свободного движения квантовой частицы никакие силы на нее не действуют и можно ее потенциальную энергию равной нулю. Пусть движение частицы происходит в направлении , тогда (*) принимает вид: .

Частным решением этого уравнения является ф-ции вида , где  и  – константы. Если подставить искомое решение в само уравнение, то мы получим связь энергии частицы  и величины :

Полная волновая функция с учетом зависимости от времени для свободной частицы имеет вид . Это плоская монохроматическая волна с частотой  и волновым числом . Так как  , а , то .

Мы получили обычное выражение, связывающее кинетическую энергию и импульс нерелятивистской частицы. Величины и  такой частицы ничем не ограничены, те свободная квантовая частица может иметь любое значение энергии и импульса. Вероятность обнаружения частицы в интервале координат  определяется соотношением    .

Величину, стоящую перед , будем называть плотностью вероятности   .

30. Отражение частиц от потенциальной ступеньки. Туннельный эффект.

Так говорит классическая механика

Рассмотрим случай  .

Решение ур. Шрёдингера покажет, что происходит с реальными частицами. С учетом того, что в первой области , а во второй , ур. Шредингера для них будет выглядеть так:

Первая область:, Вторая область:

Решения этих уравнений имеет вид

       

.                    

Первое слагаемое в  описывает падающую волну, второе – отраженную от потенциальной ступеньки. Так как есть решение уравнения и во второй области, то для квантовой частицы имеется конечная вероятность попадания во вторую область. Эта вероятность определяется величиной . Очевидно, что второе слагаемое , растущее с увеличением , должно равняться нулю. Поэтому. Остается первое слагаемое, квадрат которого и определяет конечную вероятность обнаружения частицы за потенциальной ступенькой. Эта вероятность экспоненциально падает с увеличением .

В точке  должно выполняться условие непрерывности  и , т.е.  и .Отсюда получаются формулы, связывающие коэффициенты :

.

Таким образом  ; 

Окончательно волновые функции для первой и второй областей имеют вид:

Зайдя во вторую область частица ОБЯЗАТЕЛЬНО вернется.

Перейдем к рассмотрению случая, когда энергия частицы больше высоты ступеньки ().

Ур. Шрёдингера для первой и второй областей выглядит также. С учетом того, что , решения для этих областей теперь имеют вид

 , где ,  .

Оба решения представляют собой суммы падающей и отраженной волн. Так как во второй области нет отраженной волны,  то . Для нахождения связи коэффициентов  воспользуемся снова условиями непрерывности функции  и ее первой производной в точке . Первое условие дает , из второго условия следует   , из этих уравнений находим