Кинетическая теория процессов переноса и поверхностных явлений в твёрдом теле, страница 9

Отметим, что максимум λ_P для А1₂О₃ (диэлектрик) имеет величину 200 Вт/(см К), а максимум λ_Pдля, Сu (металла)— 50 Вт/(см К). Таким образом, решеточная теплопроводность может быть весьма высокой. Интересно также сравнить теплопроводность кристаллические и аморфных тел. На рис. 2.5 приведены соответствующие зависимости для кристаллического кварца (кривая /) и плавленного кварца (кривая 2). Видно, что теплопроводность упорядоченных тел может во много раз превосходить теплопроводность этого же тела в аморфном состоянии.

2.3. Поглощение звука в твердом теле (фононы)

Интересным и важным вопросом кинетики твердого тела является поглощение звука. Процесс поглощения звука происходит по-разному в металлах, где основную роль при этом играют электроны, и, например, в диэлектриках, где поглощение звука связано с фононами. В настоящем разделе мы рассмотрим поглощение звука фононами (соответствующий вклад в поглощение электронов будет рассмотрен ниже).

С самого начала ясно, что поглощение звука происходит по-разному в двух предельных случаях: λ>>l_Ри λ<<l_Р (λ, l_Р— соответственно длина звуковой волны и длина свободного пробега фононов). Эти два случая и разбираются подробно ниже. Отметим, что поглощение звука может быть описано так называемым коэффициентом поглощения, который выражается через кинетические коэффициенты: вязкость и теплопроводность (как и ib обычной жидкости).

Переходя к количественному изучению поглощения звука, отметим, что важнейшим вопросом такого исследования является получение зависимостей коэффициента поглощения от частоты звука и температуры.

Рассмотрим длинноволновое приближение для колебаний атомов в кристаллах, причем учтем лишь малые отклонения от положений равновесия. В этом случае (см. первую часть пособия) колебания кристалла могут быть описаны теорией упругости, причем имеют места два типа звука: продольный (скорость которого c_l) и поперечный (скорость c_t). Ограничимся также рассмотрением изотропных тел ('более общие случаи см., например, в [11]).

Пусть по кристаллу распространяется поперечная упругая волна в направлении х. Тогда смещение атомов из положения равновесия в такой волне есть

,                   (2.16)

Полная средняя кинетическая энергия в волне записывается как

                                        (2.17)

Коэффициент поглощения звука γ определяется отношением средней диссипацией энергии к удвоенному среднему потоку энергии в волне. При этом у определяет изменение амплитуды звуковой волны с расстоянием в виде ехр(—γх) Таким образом, можно записать

                         (2.17)

средняя диссипация механической энергии в звуковой волне. Вычисление  может быть проведено (см. например, [11]), причем оказывается, что в диссипацию механической энергии в поперечной звуковой волне дает вклая лишь вязкость (температура в такой волне постоянна). При этом =ηω⁴/2c_t², где η — коэффициент вязкости (он имеет примерно такой же смысл, как и коэффициент вязкости жидкостей), описывающий процессы внутреннего трения в твердом теле. Учитывая выражения для  а также (2.17) и (2.18), получаем

                                                    (.2.19)

Для продольной волны, распространяющейся вдоль х, имеел                     = =0                                                                     (2.20)

В такой волне наряду с процессами вязкости существенны процессы теплопроводности, причем вычисления дают  [11]

                                         =       (2.21)

где η, ζ — соответственно коэффициенты   первой и второй вязкости;

λ_P— коэффициент теплопроводности решетки; α — коэффициент температурного расширения. Используя (2.21), получим

=                                                     (2.22)

Отметим, что для обычной жидкости коэффициент поглощения звука есть

= ;  с_p, с_υ - теплоемкости. Из (2.19) и (2.22) следует, что поглощение звука в твердом теле в длинноволновом приближении γ~ω². Следовательно, более короткие волны (высокочастотные) затухают быстрее, что и наблюдается в реальных условиях.