Кинетическая теория процессов переноса и поверхностных явлений в твёрдом теле, страница 7

суммарный вектор, например += - , лежит вне данной элементарной ячейки (.содержащей векторы и ). Но свойства кристаллов эквивалентны во всех элементарных ячейках (см. первую часть пособия). Если же часть суммарного вектора  + вышла за данную ячейку, то из закона сохранения энергии фононов  +=  (справедливого внутри каждой ячейки) следует, что нужно «вернуть» суммарный вектор  в исходную ячейку. Таким образом, нужно «перебросить» вектор в «свою» ячейку. В связи с этим процессы, протекающие при условии (2.4), носят название процессов переброса (или U-процессов). Заметим, что несмотря на то, что выбор элементарной ячейки в кристалле неоднозначен, для всех ячеек нельзя обратить в нуль (хотя всегда можно выбрать отдельные ячейки так, чтобы в ник =0).

Аналогичная ситуация имеет место и для процессов рассеяния фононов более высокого порядка (четырехфононных и т.д. (см. [7,8])).      

2.2. Теплопроводность решетки

Применить указанные выше методы для изучения теплопроводности решетки здесь не представляется возможным, поскольку они являются весьма громоздкими. Однако проведенное выше качественное рассмотрение кинетики фононов позволит разобраться b механизмах теплопроводности решетки.           

В целом ряде кристаллов с малым числом электронов (или дырок): диэлектриках, полуметаллах, некоторых полупроводниках — теплопроводность полностью определяется теплопроводностью решетки. Ниже дается простейшая теория теплопроводности решетки, основанная на приближении длины (или времени) свободного пробега фононов.

Рис: 2.2

Получим сначала выражение для коэффициента теплопроводности решетки исходя из феноменологических представлений. Рассмотрим в кристалле некоторую малую область вблизи точки х₀ (рис. 2.2). В эту точку приходят фононы, которые испытали последнее столкновение на длине, не большей, чем l_p. В каждой точке твердого тела поток энергии можно записать в виде , где  — средняя скорость фононов в точке ; ε()—их характерная энергия е этой точке (напомним, что, согласно распределению Планка число фононов в окрестности данной точки определяется температурой вблизи нее). Пусть для простоты, рассматривается, во-первых, элементарная ячейка с одним атомом (простая), во-вторых, для всех ветвей справедлив закон дисперсии ω = с_sk. Найдем средний поток энергии вдоль оси х, если вдоль нее действует заданный градиент температуры (рис. 2.2):

                                                 (2.5)

Здесь осреднение ведется по телесному углу θ. Примем, что энергия ε в точке  определяется  температурой   Т (), т. е ε (Т ()). Поскольку в точку х₀  поступает энергия лишь из сферы радиусом l_p, то

 =  =

разложим  в ряд

=                               (2.7)

Учитывая лишь линейный градиент температуры

, получим из (2.6) и (2.7)

]dξ = -  = - λ                (2.8)

Таким образом, имеем

-  = - λ                                  (2.9)

Здесь C_v=и λ =— соответственно теплоемкость и теплопроводность. Окончательно,   для коэффициента теплопроводности фононов или решетки получаем

                                                                         λ_P =                                      (2.10)

Следовательно, как и в кинетике разреженного газа, коэффициент теплопроводности решетки определяется характерной скоростью , длиной свободного пробега фононов l_Pи теплоемкостью C_v. Для расчета необходимо вычислить указанные величины. Оценка  может быть получена из рассмотрения спектра фононов, величина C_vвычислена по методу, разобранному в первой части пособия. Следовательно, основная трудность состоит в вычислении длины свободного пробега l_P. Как видно из выражения для интеграла столкновений (2.2), для получения разумных величин l_Р следует учитывать в общем случае все механизмы рассеяния. Рассмотрим последовательно «клад различных механизмов в величину l_P, а следовательно, — в решеточную теплопроводность.

Начнем со случая чистого монокристалла достаточно больших размеров. При этом следует выделить следующие предельные случаи:

1. Низкие температуры (Т<<θ_D).