суммарный
вектор, например +
=
-
, лежит вне
данной элементарной
ячейки (.содержащей векторы
и
). Но свойства кристаллов эквивалентны во всех элементарных ячейках (см. первую часть пособия). Если
же часть суммарного вектора
+
вышла за данную ячейку, то из закона сохранения энергии фононов
+
=
(справедливого внутри каждой ячейки) следует, что нужно «вернуть» суммарный вектор
в исходную ячейку. Таким образом,
нужно «перебросить»
вектор
в
«свою» ячейку. В связи с этим процессы, протекающие при условии (2.4), носят
название процессов
переброса (или U-процессов). Заметим,
что несмотря на
то, что выбор элементарной ячейки в кристалле неоднозначен, для всех ячеек
нельзя обратить в нуль (хотя всегда можно выбрать отдельные ячейки так,
чтобы в ник
=0).
Аналогичная ситуация имеет место и для процессов рассеяния фононов более высокого порядка (четырехфононных и т.д. (см. [7,8])).
2.2. Теплопроводность решетки
Применить указанные выше методы для изучения теплопроводности решетки здесь не представляется возможным, поскольку они являются весьма громоздкими. Однако проведенное выше качественное рассмотрение кинетики фононов позволит разобраться b механизмах теплопроводности решетки.
В целом ряде кристаллов с малым числом электронов (или дырок): диэлектриках, полуметаллах, некоторых полупроводниках — теплопроводность полностью определяется теплопроводностью решетки. Ниже дается простейшая теория теплопроводности решетки, основанная на приближении длины (или времени) свободного пробега фононов.
Рис: 2.2
Получим сначала выражение для коэффициента теплопроводности решетки
исходя из феноменологических представлений. Рассмотрим в кристалле некоторую малую
область вблизи
точки х0 (рис. 2.2). В эту точку приходят фононы, которые испытали последнее столкновение на
длине, не большей, чем lp. В каждой точке
твердого тела поток энергии можно записать в виде
, где
— средняя скорость
фононов в точке
; ε(
)—их характерная энергия е этой точке (напомним, что, согласно
распределению Планка число фононов в окрестности данной точки определяется температурой вблизи нее).
Пусть для простоты, рассматривается, во-первых, элементарная ячейка с одним
атомом (простая), во-вторых, для всех ветвей справедлив закон дисперсии ω = сsk. Найдем средний поток
энергии вдоль оси х, если вдоль нее действует заданный градиент температуры
(рис. 2.2):
(2.5)
Здесь осреднение ведется по
телесному углу θ. Примем, что энергия ε в точке определяется
температурой Т (
), т. е ε
(Т (
)). Поскольку в точку х0 поступает энергия лишь из сферы радиусом lp, то
=
=
разложим в ряд
=
(2.7)
Учитывая лишь линейный градиент температуры
, получим из (2.6) и
(2.7)
]dξ = -
=
- λ
(2.8)
Таким образом, имеем
-
= - λ
(2.9)
Здесь Cv=и λ =
— соответственно теплоемкость
и теплопроводность. Окончательно, для коэффициента теплопроводности фононов или решетки получаем
λP = (2.10)
Следовательно, как и в
кинетике разреженного газа, коэффициент теплопроводности решетки определяется
характерной скоростью , длиной свободного пробега фононов lPи теплоемкостью Cv. Для расчета необходимо
вычислить указанные величины. Оценка
может быть получена
из рассмотрения спектра фононов, величина Cvвычислена по методу,
разобранному
в первой части пособия. Следовательно, основная трудность состоит в вычислении длины
свободного пробега lP. Как видно из выражения
для интеграла столкновений (2.2), для получения разумных величин lР следует учитывать в общем случае все
механизмы рассеяния. Рассмотрим последовательно «клад различных механизмов в
величину lP, а следовательно, — в решеточную
теплопроводность.
Начнем со случая чистого монокристалла достаточно больших размеров. При этом следует выделить следующие предельные случаи:
1. Низкие температуры (Т<<θD).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.