Кинетическая теория процессов переноса и поверхностных явлений в твёрдом теле, страница 11

() =. Уравнение движения электрона есть

                                                         (3.1)

или

Здесь m_*=— эффективная масса электрона.

Вводя функцию распределения  для электронов и  воспользовавшись  (3.2), можно записать кинетическое уравнение Больцмана

Во внешнем электромагнитном поле  на электрон  действует сила Лоренца, , поэтому уравнение (3.3)

приобретает вид (=):

                                                                                                     (3.4)

В дальнейшем нас будут интересовать кинетические явления, происходящие недалеко от состояния термодинамического  равновесия. В этом случае удобно ввести функцию =-                                                   где  — равновесная функция, распределения Ферми — Дирака. Имея в виду изучение твердого тела, температура которого меняется от точки к точке (состояние неполного или локального термодинамического равновесия), введем температуру Т (). При этом будем полагать, что равновесная функция распределения Ферми — Дирака определяется локальной температурой, т. е. = (подробное обсуждение возможности такого вида можно найти, например, в [5, 6]). С учетом сказанного уравнение (3.4) примет вид

[]· - =                                         (3.5)

Заметим, что при записи уравнения (3.5) опущен член вида , нарушающий, как можно показать [5, 6], закон Ома. Последний же считается справедливым всегда при не слишком больших полях.

Полученное уравнение Больцмана для функции f₁() является достаточно сложным. Для получения обозримых результатов воспользуемся (Приближением времени релаксации, которое обсуждалось в первой главе. В этом случае интеграл столкновений  можно записать через время релаксации τ(). Отметим, что строгий анализ показывает, что величины, полученные в приближении времени релаксации, достаточно хорошо описывают экспериментальные зависимости, Поэтому для Электронов  приближение времени  релаксации широко используется (см. [5, 6, 13, 14]).

Сделаем еще одно замечание. Процессы столкновений электронов с другими квазичастицами, а также с дефектами решетки практически всегда можно рассматривать как рассеяние на некотором силовом центре, состояние которого не изменяется. Так обстоит дело при рассеянии на нейтральных и заряженных примесях, фононах и т. д. Последнее обстоятельство позволяет получить в явном виде выражение для времени релаксации или его оценку.

3.2. Время релаксации электронов

Займемся вычислением времени релаксации для различных процессов рассеяния электронов.

Рассеяние на нейтральных примесях

Электрон взаимодействует с нейтральной примесью за счет наведенного дипольного взаимодействия. Потенциал такого взаимодействия, есть V(r)=— (дипольный момент равен     = . Здесь χ — электрическая поляризуемость атома примеси,  — статическая диэлектрическая проницаемость. Нетрудно видеть, что этот потенциал очень быстро спадает с расстоянием, поэтому можно считать атом примеси «шариком» размером приблизительно а₀. Этот размер по величине равен боровскому радиусу а_В=²/те²~а₀. Но величина е²~v_е (поскольку кинетическая энергия электрона порядка потенциальной, то е²/r~тv_е², r~а_в, v_е²~е⁴/²). Отсюда получаем σ~ а_В ², v_e~e²/, и время релаксации

~~                   (3.6)

Здесь n_N— концентрация нейтральной примеси. Более точная формула, получаемая для водородоподобных атомов, имеет вид

                                                                                      =                                               (3.7)

Отметим, что в этом приближении время релаксации не зависит от энергии носителей. Для не водородоподобных атомов такая зависимость появляется (см. подробнее [6]).

Если электрон рассеивается на примесном ионе зарядом Ze, то потенциал такого взаимодействия есть V(r)~±(Ze²/ε₀r)exp(— r/r_D), где r_D — дебаевский радиус экранирования, равный    r_D ~ (р_e/) (е²/v_е)^1/2. Такой вид потенциала получается, если рассмотреть электростатическую задачу о поле иона, помещенного в среду с диэлектрической проницаемостью . Уже из вида потенциала V(r) следует, что он спадает чрезвычайно быстро за счет экранирования иона примеси электронами. Тем самым опять получается, что сечение σ~а₀² можно брать величиной порядка а_в². Действительно, оценка r_D ~/р_е дает (e²~hv_e) v_e~e²/, а~⁴/т²е⁴. Но , и получаем = .