Кинетическая теория процессов переноса и поверхностных явлений в твёрдом теле, страница 16

где суммирование производится по удельным сопротивлениям  определяемым разными механизмами трассеяния.   Аддитивный вклад в сопротивление (правило Матиссена) обусловлен  независимостью отдельных механизмов рассеяния.  Однако следует указать, что это правило   может  нарушаться. В частности, последнее имеет место для анизотропного рассеяния [8,- 14]. Вместе с тем, для оценок правило Матиссена «работает» в широких пределах и им удобно пользоваться. Обратимся к вкладу   в кинетические   коэффициенты отдельных механизмов   рассеяния,   Поскольку   σ_e~τ_e, λ_e~τ_e основной вклад в эти коэффициенты будут давать механизмы с минимальным временем рассеяния (кинетика определяется наиболее   быстрыми   механизмами).   Величины  τ_е для различных процессов удобно сравнивать при высоких и низких температурах.

1. Высокие температуры  (T>>θ_D ). В этом случае на основании приведенных выше соотношений имеем

τ_ee~, τ_ep~  τ_пр(~τ_I)~

Видно, что τ_ee>>τ_ep в меру ε_F/k_BT>>1.Сдругой стороны, τ_пр/τ_ee~, так что электрон-электронное рассеяние может быть существенным лишь в очень чистых образцах. Теперь оценим τ_пр/τ_eр~k_BT/c_iε_F. Здесь возможны два варианта:

а) чистые образцы:

C_i<<~10^-2÷10^-4

В этом случае σ_e, λ_eопределяются фононной подсистемой (см. раздел о кинетике фононов), причем σ_e~T, λ_e≈const

б) образцы с примесями:

C_i ~10^-2÷10^-4

Здесь все определяется рассеянием электронов на примесях и σ_e≈const, λ_e~T.

Суммируя оба случая, можно записать

(3.56)

2. Низкие температуры (T<<θ_D).Для времен релаксации имеем

τ_ee~ , τ_ep^p~

 

(3.57)

Величина 1/τ_ee всегда мала, так как T<<θ_D. Соотношения между различными характерными временами имеют вид

τ_пр /τ_ep^(p)~ ,  τ_пр/τ_ep^(ε)~                (3.58)

причем τ_ep^(p)/τ_ep^(ε)~(T/θ_D)². Время т_ер^(р> определяет электропроводность (рассеяние импульса), время τ_вρ^(ε) — теплопроводность электронов (рассеяние энергии). При этом, как нетрудно видеть, закон Видемана — Франца нарушается (λ_e/σ_e~ τ_ep^(ε)/τ_ep^(p)). Следует указать, что здесь также возможны два варианта:

а)         чистые образцы (C_i<<k_BT/ε_F)

σ_e~T^-5                                                                                (3.57)

           λ_e~T^-2; (3.60)

б)  образцы с примесями ():

σ_e=const

λ_e~T

(3.62)

Таким образом, можно записать   сопротивление   и теплопроводность при низких температурах T<<θ_D

                                                          (3.63)

λ_e^-1=AT^-1+BT+CT²                                                             (3.64)

Правая часть (3.63) и (3.64) обусловлена соответственно вкладом рассеяния электронов на примесях, на электронах и на фононах. Отметим, что при T→0

сопротивление ρ_e не стремится к нулю, а остается постоянным (за счет рассеяния на примесях). Такое сопротивление обычно называют остаточным. При высоких температурах имеем случай рассеян^, электронов на фононах, поэтому

ρ_e=αT           

λ_e=const.

Для иллюстрации полученных результатов на рис. 3.3 показаны качественные зависимости σ_e, λ_e для чистых образцу и образцов с примесями (штриховые линии). Помечены области вклада в суммарную теплопроводность электронной и

фононной подсистем. Эти качественные зависимости ворительно описывают экспериментальные данные   (см. пример, рис. 3.3, а также [8, 10, 13]).

3.4. Термоэлектрические эффекты в твердом теле

Выше были рассмотрены эффекты, связанные с разделённым действием на носители электрического поля и температурного градиента. Теперь обратимся к изучению явлений, связанных с одновременным действием обоих этих факторов. В этом случае уравнение (3.5) сводится к виду

                     (3.66)

Отсюда находим

                                                                                                                              (3.67)

Вычислим плотность электрического тока (сравни раздел 3.3);

                            (3.68)

Здесь

Если и , то , откуда получаем

Здесь s_еесть (3.28) , а b_е соответственно