Кинетическая теория процессов переноса и поверхностных явлений в твёрдом теле

ВВЕДЕНИЕ

В учебном пособии «Термодинамические и статистические свойства твердых тел» [17] были изучены свойства решетки твердого тела и электронов в состоянии термодинамического равновесия. Теперь обратимся к исследованию процессов, протекающих в неравновесных условиях. Этот круг вопросов относится к физической кинетике твердого тел.а.

1. ФИЗИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ

В настоящей главе изложены вопросы, связанные с изучением кинетики элементарных возбуждений (квазичастиц) в твердых телах на основе кинетического уравнения Больцмана.

1.1. Кинетическое уравнение Больцмана

Многие физические явления, протекающие в твердых телах, удается успешно описать на основе понятия элементарных (возбуждений (квазичастиц) и взаимодействия между ними (напомним, что электроны, фононы и т. д. в твердом теле отличаются от обычных частиц в .вакууме наличием квазиимпульса, определенного лишь с точностью до периода обратной решетки). В твердом теле квазичастицы могут рассматриваться как свободные, взаимодействующие только за счет столкновений. При этом систему квазичастиц (электроны, фононы, и т. д.) можно рассматривать как разреженный газ. Описание процессов в разреженном газе квазичастиц, так же, как и в обычном разреженном газе, производится с помощью функции распределения , причем произведиие d³rd³vсоответствует числу квазичастиц,  находящихся  в  данный момент времени tв области d³rd³vфазового пространства. Интегрирование по объёму твёрдого тела V и по всем возможным скоростям даёт полное число квазичастиц

                                                       d³rd³v=N                                                                      (1.1)

Вместо функции распределения  при описании кинетики в твердом теле удобно использовать функцию , где— квазиимпульс или функцию  , где =/— волновой вектор квазичастиц.

В кинетике разреженного газа функция   подчиняется уравнению Больцмаиа [1, 2]

                                                           (1.2)

Здесь

=d/dt,   = d/dt,  ,  .

Отметим, что запись (1.2) означает возможность описания квазичастиц одновременно заданием координат и импульсов и . Естественно, что это возможно лишь при выполнении определенных критериев. Последние заключаются в следующем. Если неопределенность координаты есть Δr (по порядку величины благодаря соотношению неопределенностей она равна 1/Δk), то она должна быть значительно меньше длины свободного пробега квазичастиц. С другой стороны, поскольку Δkk, то

1/k = λ_в<<l(1.3)(1.3)

где λ_в — дебройлевcкая длина волны квазичастиц. Ниже мы увидим, что l~ , где τ — время релаксации; m_* — эффективная масса квазичастицы. Следовательно, λ_в <<

1.2. Интеграл столкновений

Обратимся к исследованию правой части уравнения Больцмана (1.2), носящей название интеграла столкновений. Если бы квазичастицы не взаимодействовали друг с трутом (и с квазичастицами другого сорта), то интеграл столкновений обратился бы в нуль.   Действительно,  в этом   случае df/dt, равная левой части уравнения (1.2), обращается в нуль, поскольку (вдоль траектории фазового пространства (, ) функция распределения не меняется.

Пусть W(k', k)dk' есть вероятность того, что за единицу времени квазичастица с волновым вектором в результате столкновения попадает в часть фазового объема  вблизи волнового вектора . Величина W(k, k')dk, в свою очередь, есть вероятность в единицу времени перехода из состояния в состояние из части фазового объема . Нетрудно понять, что число переходов из состояния пропорционально числ квазичастиц в элементе фазового объема, т. е. функции распределения f(). Соответственно число переходов из пропорционально f(). Таким образом, интеграл столкновений, характеризующий переходы между состояниями и за счет взаимодействия  (которые характеризуются величинами W(,) и W(,), могут быть записаны в виде

                                               (1.4)

Если рассматривать парные столкновения квазичастиц, когда состояния и той, и другой частиц меняется, то интеграл столкновений, как нетрудно показать, примет вид (,,):

                                              (1.5)

Последнее выражение соответствует известному из кинетической теории газов выражению для .

Бели в (1.5) подставить равновесные функции f₀, то интеграл столкновений _t, по определению, обратится в нуль и отсюда следует, что

=                                                                            (1.7)

Если при столкновениях сохраняется (это имеет место  т.  е.   Е+Е₁ = , то получаем принцип детального равновесия:

=                                              (1.8)

Принцип детального равновесия (1.8) устанавливает равенство вероятностей прямых и обратных процессов. Нетрудно видеть, что и для случая (1.4) он имеет место, т. е. = . Используя этот принцип, соотношения (1.4) и (1.5) можно записать:

                                                                                 (1.4)

                                                                (1.5)