Предмет и задачи курса "Теория вероятности и математическая статистика". Случайные события. Законы распределения непрерывных случайных величин. Математическая статистика, страница 8

2.5.Условная вероятность

Возникает новое понятие вероятности – условная вероятность. Это обусловлено тем, что т.к. события могут наступать совместно (одновременно), возникает влияние наступления одного из событий на вероятность наступления другого.

Условной вероятностью называется вероятность р(А/В), которая характеризует меру того, что событие А произойдет при условии, что произошло событие В.

Пусть произведено n опытов из них m опытов благоприятствуют событию А, k опытов благоприятствуют событию В, т.к. события совместны, то есть также набор опытов l, благоприятствующих как событию А, так и событию В (т.е. АВ).

Тогда условная вероятность р(А/В)=р(АВ)/р(В)=l/k.

Тогда физически условная вероятность представляет собой отношение части исходов, благоприятствующих событию А из числа всех исходов, благоприятствующих событию В отнесенное ко всем исходам, благоприятствующих событию В.

р(А/В)=S_АВ/S_В

Пример: Пусть событие А состоит в том, что студент закончит второй курс. р(А)=0.9. Пусть событие В, что студент, поступивший на первый курс, закончит институт р(АВ)=0.85. Определить вероятность того, что студент закончит институт, если закончит второй курс.

р(В/А)=р(АВ)/р(А)=0.85/0.9=0.94

Вывод: вероятность окончания последних трех курсов равна выше, чем окончание первых двух курсов.

Условная вероятность играет важную роль для событий, которые оказывают влияние друг на друга.

2.6.Независимые и зависимые события

Наряду с понятием несовместность и совместность событий в ТВ важную роль играют независимость и зависимость событий.

Независимыми событиями называются такие события, когда появление одного из них не влияет на вероятность появления другого, в противном случае события называются зависимыми.

Пример: попадание из одного орудия может не зависеть от попадания из другого.

Свойства независимости и зависимости является взаимными. Так, если А не зависит от В, то и В не зависит от А.

Свойство независимости может быть попарным:

А не зависит от В

В не зависит от С

С не зависит от А

События могут быть независимы в совокупности, когда событие А не зависит от всех других событий и другие события не зависят друг от друга.

Независимость и зависимость событий может определяться физическим смыслом задачи. Однако строгое доказательство независимости и зависимости определяется математически.

Теорема умножения для двух независимых событий.

Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на вероятность другого.

р(АВ)=р(А)*р(В)

Теорема умножения для двух зависимых событий.

Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность второго при условии, что первое произошло (вытекает из формулы условной вероятности).

р(АВ)=р(А)*р(В/А)

Отсюда вытекает простое правило определения является ли событие независимым или зависимым.

События независимые, если р(А) = р(А/В) или р(В) = р(В/А).

События зависимые, если р(А)р(А/В) или р(В) р(В/А).

Это означает с физической точки зрения, что если вероятность равна безусловной вероятности, то события независимы; если вероятность не равна безусловной вероятности, значит события зависимы.

Пример: 1. событие В, состоящее в вытаскивании второго шара, становится независимым по отношению к событию А – вытаскивание первого шара.(если первый был возвращен обратно).

2.  вытаскивание шара без возвращения приводит к тому, что вероятность события В изменится. В этом случае очевидно события являются зависимыми, т.е. вероятность второго события зависит от наступления первого.

Вопрос зависимости или независимости события тесно связан с возвращением или невозвращением шара.

Указанные теоремы обобщаются на любое число событий.

Независимые события: р(А₁,А₂,А₃… А_n)=р(А₁)*р(А₂)*р(А₃)*…*р(А_n) – формула для событий независимых в совокупности.

Зависимые события: р(АВС)=р(А)*р(В)*р(В/А)*р(С/АВ)

Для большого числа зависимых событий : р(А₁, А₂, А₃,…,А_n)=р(А₁)*р(А₂/ А₁)*р(А₃/ А₁ А₂)*…*р(А_n / А_n-1)