Математика \ Теория вероятностей и математическая статистика

Предмет и задачи курса "Теория вероятности и математическая статистика". Случайные события. Законы распределения непрерывных случайных величин. Математическая статистика, страница 26

5.9.Зависимые и независимые СВ

СВ Х и Y, входящие в С 2х СВ могут быть как зависимые, так и независимые, т.е. влияет ли одна из них на вероятность значения другой. По теореме умножения для случайного события было показано:

р(АВ)=р(А)*р(В)

При этом условная вероятность СВ равна безусловной вероятности СВ:

р(А)=р(А/В); р(В)=р(В/А)

По аналогии с этим доказательством можно считать, что СВ входящие в 2-мерный случайный вектор будут независимы, если совместная плотность распределения:

Для НС компонентов вектора XY совместная плотность распределения f(x,y) равна произведению частных одномерных плотностей.

Это условие является необходимым и достаточным. Соответственно из этого вытекает (см формулу с *), что

;

Свойство зависимости и независимости СВ X и Y является взаимным, если Х не зависит от Y, то и Y не зависит от Х.

Свойство зависимости и независимости СВ шире понятия функциональной зависимости, т.к. охватывает случай неявной вероятностной зависимости.

5.10.Числовые характеристики С 2х СВ

Как и для одномерного случая нахождение числовых характеристик, они могут быть определены и для С 2х СВ. Это целесообразно делать в связи с тем, что работа с ЗР СВ (и тем более 2-мерных) является достаточно сложной и трудоемкой работой.

Как и ранее для С 2х СВ могут быть найдены МО 2-мерного случайного вектора и дисперсия, характеризующая отклонение СВ от центра рассеяния. По аналогии с одномерными СВ для 2-мерных СВ в случае ДСВ берется сумма, а для НСВ сумма заменяется интегрированием. Отличие состоит в том, что для ДСВ берется двойная сумма, а для НСВ – двойной интеграл. Для МО следует использовать следующее выражение:

для ДСВ: ,

где

для НСВ:

Примечание: для одномерной функции было:

Таким образом, для С 2х СВ МО отличается тем, что подставляется совместная плотность распределения и выполняется операция двойного интегрирования.

Для дисперсии выражение имеет вид:

Можно воспользоваться также формулой:

Примечание: было

В ряде случаев необходимо искать МО условной плотности распределения в частности МО одной СВ при изменении другой.

Формулы показывают на сколько изменится МО СВ X или Y при изменении другого аргумента Y или Х . Однако этих числовых характеристик для С 2х СВ оказывается недостаточно, т.к. возникает интерес к статистической связи между СВ.

5.11.Корреляция 2х СВ

В настоящее время общепризнанно, что статистическая связь между некоторыми величинами является более широким и важным понятием, чем функциональная связь. Т.к. жесткая функциональная связь является частным случаем статистической связи при жесткой корреляции между 2-мя СВ.

Корреляционная связь характеризует влияние СВ друг на друга в статистическом смысле. Введем понятие ковариация или корреляционный момент. В этом термине вариация означает случайное отклонение СВ от ее МО, т.е. разброс (флуктуация).

Со – совместное влияние или совместное отклонение. (Со - Chairman).

В русской интерпретации переводится как «со» (согласование, соавтор, сопредседатель). Таким образом, слово ковариация – совместное отклонение и влияние.

Ковариация (корреляционный момент) есть МО произведения отклонений СВ Х и Y от их МО.