Предмет и задачи курса "Теория вероятности и математическая статистика". Случайные события. Законы распределения непрерывных случайных величин. Математическая статистика, страница 17

D_х1< D_х2< D_х3

Отсюда следует, что величина х₃ является более неопределенная, чем величина х₂.

Размерность дисперсии определяется квадратом физической величины. Это не удобно! Поэтому в технических дисциплинах используется другая величина – среднее квадратическое отклонение ().

=+

Теперь  имеет размерность МО и физической величины и может складываться с МО:

m_x 3

Можно показать, что в этот интервал величина попадет с вероятностью 0,997.

Для биномиального распределения:

D[X]= D_х=n*p*q

3.18.Свойства дисперсии

1.Дисперсия постоянной (неизменной) величины =0.

D[C]=0,

где С=const.

Это ясно из физического смысла дисперсии, а также вытекает из свойства дисперсии – характеризовать рассеяние.

2.Дисперсия СВ всегда не отрицательная.

D[X]0

Это обусловлено тем, что дисперсия – это квадрат величины (отрицательного или положительного числа всегда будет 0).

3.Постоянная выносится за оператор дисперсии с возведением ее в квадрат.

D[C*X]=C²*D[X]

Для среднего квадратического отклонения константа выносится без возведения в квадрат, а сама константа берется по абсолютной величине.

  [C*X]=* [X]

4.Дисперсия произведения двух независимых СВ равна произведению их дисперсий.

D[X*Y]=D[X]*D[Y]

5.Дисперсия суммы или разности двух СВ равна сумме их дисперсий.

D[XY]=D[X] - D[Y]

Док-во: D[X-Y]=D[X+(-1)*Y]=D[X]+(-1)²*D[Y]=D[X]+D[Y]

Иначе говоря, дисперсия разности СВ равна сумме их дисперсий.

6.Дисперсия СВ + const = дисперсия СВ.

D[X+С]=D[X]+D[С]=D[X],

где С – const.

Т.к. дисперсия const=0 (смотри свойство №1).

7.Дисперсия СВ равна разности между МО квадрата СВ и квадратом ее МО.

D[X]=M[X²] - m

Доказательство данного равенства будет приведено ниже.

3.19.Коэффициент вариации (К_var)

Во многих практических важных случаях представляет интерес разброса СВ к ее МО, особенно на Западе. Это отношение называется коэффициентом вариации (К_var).

К_var=

Пример: билет в лотерею стоит 50$, в одной лотерее выигрыш может составить от 0$ до 100$, в другой – от 40$ до 60$. В первом случае К_var от 0 до 100 %, во втором случае до 20 %. Та игра в которую будет играть субъект характеризует его склонность к риску.

Тоже самое касается доходность ценных бумаг: при одной и той же средней доходности  К_var их цены может быть различен.

3.20.Среднеквадратическое отклонение (СКО) среднего арифметического при n независимых испытаниях

На практике СКО некоторого среднего от истинного МР зависит от числа опытов измерений.

СКО среднего арифметического n одинаково распределенных независимых СВ в корень квадратный из n раз меньше СКО каждой из величин.

Пример: СКО () при одном измерении некоторой длины =3м. Пусть произведено 9 замеров, тогда =, значит СКО () составит всего 1м.

3.21.Квантили

Любая СВ может быть разбита на некоторые диапазоны – квантили.

Квантилем уровня q называется такое x_q, при котором F(X) (функция распределения) примет значение q.

F(x)=p(X< x_q)=q

Пример: пусть СВ бедности

верхний квантиль 20% характеризует число богатых и сверх богатых;

нижний квантиль 20% характеризует число бедных.

Тогда, например, медиана есть квантиль уровня 0,5. Доля x_q 25% называется квартилем, 10% - децили.

В любом случае квантили является наглядным средством определения того, что СВ попадает в заданный диапазон.

3.22.Моменты высших порядков для СВ

Выше были приведены 2 основные числовые характеристики СВ. Однако они не в полной мере отражают все свойства законораспределения СВ. Для полной характеристики применяются еще моменты высших порядков, которые названы так по аналогии с механикой.

Различают 2 группы моментов высших порядков, а именно моменты начального порядка и моменты центрального порядка.

1.Момент начального порядка.

Моментом k-го порядка СВ называется МО СВ в k-ой степени.

для ДСВ: , где i=1,2,…n

для НСВ:

Моменты начального порядка в общем виде характеризуют центрированное положение СВ. Иначе говоря, характеризует среднее положение в более утонченном представлении.

Рассмотрим моменты начального порядка:

1.k=0

2.k=1

Таким образом, МО есть начальный момент 1-го порядка.

3.k=2