Мультимедійний курс лекцій з опору матеріалів, страница 37

При відсутності нагріву реакції виходять рівними -2.5 КН і 7.5 кН відповідно.

Епюру поздовжніх сил будуємо обчисленням значень по ділянках : N1 = RA = 4.5 кН, N2 = N3 = RB = -5.5 кН. У перерізі, в якому прикладена зосереджена сила, отримано стрибок, що дорівнює величині цієї сили.

Епюра нормальних напружень також будується обчисленням значень напруг по ділянках: σ1 = N1 / A1= 22.5 МПа, σ2 = N2 / A2= - 27.5 МПа, σ3 = N3 / A3= - 55 МПа.

72

Лекція 18 (продовження – 18.3)

• Розрахунок статично невизначених систем на неточність складання - У статично невизначених системах невідповідність довжин виготовлених елементів проектним викликає додаткові внутрішні зусилля, які можуть помітно впливати на результат визначення зусиль від дії зовнішніх сил. Більше того, навіть при відсутності зовнішніх сил, при складанні можуть виникати початкові (монтажні) зусилля. Загальний порядок вирішення завдання зберігається з попередніми прикладами, але рівняння сумісності деформацій (видовжень) містять додаткові видовження (укорочення) необхідні для здійснення збирання неточно виготовлених елементів.
• Приклад 3. Абсолютно жорстка балка підвішується на двох мідних і одному сталевому (Eм / Eс = 1 / 2) стержнях однакової довжини. Сталевий стержень при виготовленні був зроблений довшим на величину Δ. Визначити монтажні зусилля після складання і зусилля при навантаженні силою F.

1. Вибираємо об’єкт рівноваги, відкидаємо зв’язки та замінюємо їх дію реакціями:

Реакції від мідних стержнів рівні внаслідок симетрії системи.

a

2. Статика : Складаємо рівняння рівноваги:

a

3. Геометрія: Задаємо проміжний стан балки та складаємо рівняння сумісності деформацій:

l

медь медь

4. Фізика: Записуємо співвідношення зв’язку деформацій із зусиллями:

сталь

Rм

Rм

Rс

Знак мінус присвоюється, оскільки сталевий стержень повинен скоротитися і внутрішнє зусилля повинне бути негативним (стиск).

lм



lс

Підставляємо співвідношення пружності у рівняння сумісності:

F

Із цього ж рівняння рівноваги слідує:

підстановка співвідношень пружності в рівняння сумісності приводить до раніше отриманого виразу для Rм=Rм(Rс).

Підставимо отримане співвідношення У рівняння рівноваги:

Підстановка в рівняння рівноваги дає:

У вирази для реакцій входять абсолютні значення модуля пружності Eм, довжини та площі стержнів. Підрахуємо величини реакцій для конкретних даних: l = 2 м, A = 20 см2,  = 0.5 мм, Eм = 105 МПа :

Із виразу Rм=Rм(Rс) :

Під час навантаження балки силою F посередині, балка отримує додаткове переміщення Δ:

Рівняння рівноваги, сумісності деформацій та співвідношення пружності приймають вигляд:

Після підстановки значення сили F =500 кН отримуємо Rс = 200 кН и Rм= 150 кН.

73

Лекція 18 (продовження – 18.4)

• Приклад 4. У попередньому прикладі розглянута система була симетричною. Якщо система несиметрична з геометрії, навантаженню, матеріалам стержнів, то переміщення жорсткої балки при деформації буде не поступальне, а плоске (з поворотом навколо деякого центру). Розглянемо рішення такого завдання, подібної попередній задачі, але з наступними даними: Лівий мідний стержень виготовлений коротшим інших на величину , сила F прикладена на відстані c > a від лівого стержня. Знайти зусилля в стержнях.

1. Вибираємо об'єкт рівноваги, відкидаємо зв'язки і замінюємо їх дію реакціями :

2. Статика : Складаємо рівняння рівноваги :

a

a

с

l

медь

3. Геометрія: Задаємо довільне похиле положення балки і складаємо рівняння сумісності деформацій:

медь

R1м

сталь

R1м

4. Фізика: Записуємо співвідношення зв'язку деформацій із зусиллями :

Rс



А

б

l1м

lс

φ

l2м

Отримали повну систему рівнянь, що вирішує дану задачу (8 рівнянь і 8 невідомих - 3 реакції та 5 переміщень, два з яких поступальні переміщення балки, кутове переміщення - поворот). Останні невідомі можна виключити, складаючи одне, але більш складне, рівняння сумісності з подібності трикутників у вигляді: