Мультимедійний курс лекцій з опору матеріалів, страница 20

• Головні деформації.
• Аналогічно визначенню напружень на похилих площадках, можуть бути визначені деформації. Вирази деформацій в новій системі координат, повернутій відносно початкової на деякий кут, аналогічні виразам для напружень. Достатньо підставити замість нормальних напружень лінійні деформації, а замість дотичних напружень – половини кутів зсуву:

Також, як і для напружень, існують такі площадки, для яких відсутні кути зсуву, а лінійні деформації приймають максимальні значення. Ці площадки і лінійні деформації називаються головними. Для їх визначення використовують формули, аналогічні отриманим для напружень:

За допомогою круга Мора, побудованого для деформацій, легко визначаються головні деформації та напрямок головних площадок.

37

Лекція 11

• Деформації при об’ємному напруженому стані. Узагальнений закон Гука.
• При лінійному напруженому стані:

– відносна поздовжня деформація;

– відносна поперечна деформація.

або

Закон Гука в загальному вигляді

Коефіцієнт Пуассона

При об’ємному напруженому стані:

a відповідно повна деформація тіла буде виглядати так:

Це і є узагальнений закон Гука, в напруженнях, який дозволяє встановити взаємозв'язок між лінійними деформаціями і головними нормальними напруженнями. Цей закон Гука справедливий не тільки для головних площадок, але і для відносних деформацій по будь-якому із трьох взаємно перпендикулярних напрямків.

Згідно з принципом незалежності дії сил, запишемо повні деформації у напрямку дії напруження σ1:

38

Лекція 11 (продовження – 11.2)

• Об’ємна деформація. Об’ємний закон Гука.

Узагальнений закон Гука дає можливість оцінити відносну зміну об'єму. Так, до деформування елемент займав об'єм

У деформованому стані:

Перемножимо дужки, нехтуючи величинами другого та третього порядку малості:

Тоді

Таким чином

- відносна зміна об’єму

Підставляємо деформації із узагальненого закону Гука в відносну зміну об’єму:

Із цього співвідношення видно, що відносна зміна об'єму дорівнює нулю в двох випадках: 1) коли коефіцієнт Пуассона ν=0,5 (гума); 2) при чистому зсуві, для якого

- об’ємний закон Гука.

, а

При рівномірному всебічному стиску, коли:

39

де називається модулем об'ємної деформації матеріалу.

Лекція 11 (продовження – 11.3)

• Потенціальна енергія деформації.

Потенціальною енергією деформації називається енергія, що накопичується в тілі під час його пружному деформуванні. Коли під дією зовнішнього статичного навантаження тіло деформується, точки прикладення зовнішніх сил переміщуються, і потенціальна енергія положення навантаження зменшується на величину, яка кількісно дорівнює роботі, здійсненій зовнішніми силами. Енергія, втрачена зовнішніми силами, не зникає, а перетворюється, в основному, на потенціальну енергію деформації тіла. Потенціальна енергія деформації U накопичується в оборотній формі – в процесі розвантаження тіла знову перетворюється на енергію зовнішніх сил або на кінетичну енергію. Значення потенціальної енергії деформації, яка припадає на одиницю об’єму тіла, називається питомою потенціальною енергією деформації (и). При розтязі чи стиску потенціальну енергію деформації можна визначити по площі діаграми після побудови діаграми деформації матеріалу на ділянці пропорційності.

При лінійному напруженому стані:

Оскільки площі граней дорівнюють одиниці, то зусилля, що діють на них, чисельно дорівнюють . Ці зусилля здійснюють роботу на тих переміщеннях, які дістають грані внаслідок деформації кубика. Ці переміщення чисельно дорівнюють головним відносним видовженням , оскільки ребра мають одиничну величину. Отже, можна записати:

– загальна питома потенціальна енергія деформації при об'ємному напруженому стані.

40

Лекція 11 (продовження – 11.4)

• Питома потенціальна енергія формозміни.