Мультимедійний курс лекцій з опору матеріалів, страница 30

Приріст згинального моменту і осьовий момент інерції перерізу не залежать від площі відсіченої частини і їх можна винести за знак інтеграла. Залишений підінтегральної вираз співпадає з виразом для статичного моменту площі відсіченої частини поперечного перерізу:

Вважаючи дотичні напруження постійними за площею A1, що відповідає припущенням сталості деформацій зсуву по ширині поперечного перерізу, враховуючи закон парності дотичних переміщень і диференціальну залежність поперечної сили, отримуємо:

- формула Журавського

або

59

Лекція 15 (продовження – 15.5)

• Розподіл дотичних напружень по висоті перерізу - З формули Журавського випливає,
• що дотичні напруження у волокнах поперечного перерізі, розташованих на деякій відстані від осі,
• залежать від величини статичного моменту площі відсіченої частини і ширини перерізу на висоті січної площини:
• Побудуємо епюри дотичних напружень для деяких простих перерізів:
• прямокутний переріз

Проведемо горизонтальний переріз на висоті y і обчислимо статичний момент відсіченої частини:

y

Aвідс

yo

y

Підставимо у формулу Журавського вирази для статичного моменту і моменту інерції:

x

h

Отримана залежність є квадратичною від координати розглянутого шару. Таким чином, дотичні напруження по висоті перерізу змінюються за квадратною параболою: y =  h/2, zy = 0; y = 0, zy = zymax =3Qy/(2bh) =1,5 zyср

Можна переконатися, що об’єм епюри напружень τzy (y) · b / Qy дорівнює 1, що означає виконання рівності.

Переріз має ступеневу зміну ширини і тому слід розглядати окремо дві ділянки зміни координати: 0 <y1<h / 2 - стінка і h / 2 <y2<H / 2 - полку.

■ Товстостінний двотавр

Для стінки:

y2

y1

Для полички:

На обох ділянках дотримується квадратична залежність від координати волокна. У місцях різкої зміни ширини перерізу відповідно до формули Журавського епюра має скачки:

60

Лекція 15 (продовження – 15.6)

• Тонкостінний переріз - Епюра вертикальних дотичних напружень z zy будується аналогічно розглянутому раніше для товстостінного двотавра.

F

У поличках виникають горизонтальні дотичні напруження  zx, які можуть бути визначені за формулою Журавського, при цьому статичний момент площі, що відсікається вертикальною площиною на відстані x1, обчислюється як і раніше відносно осі x:

zx

zx

Це випливає з того факту, що при перетині вертикальною площиною в поздовжньому перерізі виникають дотичні напруження xz рівні дотичним напруженням zx в поперечному перерізі на відстані x1. Далі, дотримуючись процедури виведення формули Журавського, приходимо до тієї ж формули.

x1

z0

zy

d

A

На відміну від вище вказаного (визначення вертикальних дотичних напружень), тепер статичний момент відсіченої частини змінюється за лінійним законом:

Звідси розглядувані горизонтальні дотичні напруження змінюються також за лінійним законом:

Максимальні дотичні напруження:

zx

У разі згину одночасно в двох площинах дотичні напруження виходять як алгебраїчна сума:

Перший інтеграл дорівнює площі епюри дотичних напружень τzx, помноженої на товщину полички:

Умова міцності на зріз: де Rзр – розрахунковий опір матеріалу на зріз.

• Умова міцності – Епюри розподілу дотичних напружень показують, що максимальні дотичні напруження виникають на рівні нейтрального шару, де нормальні напруження від дії згинаючого моменту рівні нулю. Тоді міцність балки перевіряється на зріз.

Таким чином, крутний момент дорівнює

Приведення системи дотичних напружень до рівнодіючої дає:

• Поняття про центр згину - Напрямки дотичних напружень по перерізу тонкостінних балок показують, що в поперечному перерізі виникає крутний момент відносно центру приведення, що збігається з центральною віссю балки, тобто система внутрішніх сил (дотичних напружень) в перерізі зводиться до головного вектору і головного моменту. Це означає, що крім зсуву в площині дії поперечного навантаження переріз піддається деформації кручення, хоча поперечне навантаження знаходиться в головній площині інерції.