Мультимедійний курс лекцій з опору матеріалів, страница 17

• Обчислення моментів інерції складних фігур - виконується в наступному порядку:
• Переріз розбивається на частини, для яких відомі координати центрів ваги і моменти інерції або легко знаходяться.
• Вибираються початкові осі, щодо яких обчислюються координати центру ваги перерізу.
• Обчислюються координати центра ваги перерізу.
• Проводяться центральні осі (що проходять через центр ваги перерізу), щодо яких обчислюються моменти інерції.
• Обчислюються осьові і відцентрові моменти інерції всього перерізу щодо центральних осей.
• Обчислюються головні центральні моменти і визначається положення головних осей.

Приклад 1 - Визначити головні центральні моменти інерції і положення головних осей кутикового поперечного перерізу.

2

1

1

2

C

O

29

Лекція 9

Тема: ДОСЛІДЖЕННЯ НАПРУЖЕНОГО СТАНУ ТІЛА В ТОЧЦІ

1. Загальні відомості про напружений і деформований стани в точці. Тензор напружень.

2. Закон парності дотичних напружень.

3. Напруження на похилих площадках.

4. Головні нормальні напруження та максимальні дотичні напруження.

5. Головні деформації.

Основні гіпотези:

1. Гіпотеза про суцільність матеріалу. Передбачається, що матеріал суцільно заповнює форму тіла (атомістична теорія дискретної побудови речовини до уваги не береться).

2. Гіпотеза про однорідність та ізотропність. Передбачається, що властивості матеріалу по всьому його об’ємі і в любому напрямку будуть однакові, тобто ізотропні.

3. Гіпотеза про незначні деформації. Передбачається, що деформації в тілі досить малі порівняно з його розмірами.

4. Гіпотеза про ідеальну пружність матеріалу. Передбачається, що під дією навантаження в тілі виникають пружні деформації, тобто такі, що повністю зникають після зняття навантаження.

5. Гіпотеза про прямопропорційну залежність між навантаженням і деформаціями. Закон Гука: “Яка сила, така й деформація”.

Напруження – інтенсивність внутрішніх зусиль; – внутрішнє зусилля, що діє на одиницю площі в даній точці.

Деформації – зміна розмірів тіла: ε – поздовжніх, γ – кутових.

30

Лекція 9 (продовження – 9.2)

Розглянемо довільне тіло, завантажене будь-яким навантаженням.

1

Внаслідок взаємодії частинок тіла при його навантаженні, у перерізах тіла виникають напруження. Досліджуючи напружений стан тіла в даній точці А, поблизу неї, як правило, виділяють елемент об’єму у вигляді нескінченно малого паралелепіпеда. Покажемо вирізаний паралелепіпед у збільшеному вигляді.

До граней паралелепіпеда прикладені внутрішні зусилля, що замінюють дію відкинутої частини тіла. Позначимо повні напруження на гранях елемента через Рх, Ру і Рz. Тут індекси означають нормалі до площадок, на яких діють напруження. Внаслідок малості виділеного елемента можна вважати, що напруження на кожній його грані розподілені рівномірно.

А

Повні напруження на гранях елемента розкладають на нормальні та дотичні до граней складові – проекції повних напружень на координатні осі. Індекс біля нормальних напружень σ відповідає напряму нормалі до площадки, на якій вони діють. Дотичні напруження τ позначають з двома індексами: перший відповідає напряму нормалі до площини, а другий – напряму самого напруження.

Таким чином, на площадці, перпендикулярній до осі х діють напруження σх, τху і τхz.

На площадці, перпендикулярній до осі у діють напруження σy, τуx і τyz.

На площадці, перпендикулярній до осі z діють напруження σz, τzx і τzy.

Отже, на гранях елементарного паралелепіпеда, виділеного в околі точки А навантаженого тіла, діють дев’ять компонент напружень. Запишемо їх у вигляді квадратної матриці, де в першому, другому та третьому рядках наведено складові напружень відповідно на площадках, перпендикулярних до осей x, y, z. Цю сукупність напружень називають тензором напружень.

Вирізаний нами елемент (паралелепіпед) можна по різному орієнтувати у просторі. При поворотах елементу нормальні та дотичні напруження на його похилих гранях будуть приймати нові значення. Тому необхідно дослідити, як змінюються ці напруження від орієнтації елементу. Розглянувши це питання, можна знайти похилі площадки, на яких напруження приймають максимальні та нульові значення. Розглянемо цю задачу спочатку для більш простого випадку – плоского напруженого стану.